La primera derivada del polinomio de Taylor

Question

Cuando aplico la regla de L'Hopital n veces para demostrar el Teorema de Taylor, resulta que la primera derivada del polinomio de Taylor es $P_{n-1}f'(x;x_0)$ :

$$\begin{split} \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-P_nf(x;x_0)}{(x-x_0)^n} &= \lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)-P_{n-1}f'(x;x_0)}{n(x-x_0)^{n-1}} \\ &= \ldots \\ &= \lim_{x\to x_0}\frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(x_0)}{n!}=0 \end{split}$$

¿Cómo puedo demostrar que $$\frac{d}{dx}P_nf(x;x_0) = P_{n-1}f'(x;x_0)?$$

Answer 1

Usted ha definido (en los comentarios) que

$$P_nf(x;x_0)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$$

Tomando la derivada, deberías acabar con

$$\frac d{dx}P_nf(x;x_0)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}k(x-x_0)^{k-1}$$

Observe que $f^{(k)}(x_0)$ es una constante.

En $k=0$ el sumando es $0$ así que podemos ignorarlo. Simplificando un poco, obtenemos

$$\frac d{dx}P_nf(x;x_0)=\sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{(k-1)!}(x-x_0)^{k-1}=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k+1)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$$

que, por definición, es igual a $P_{n-1}f'(x;x_0)$