Supongamos que tenemos un $m$ x $n$ matriz $A$ con $m\lt n$ y un $m$ x $1$ vector $b$ . ¿Existen condiciones de existencia y unicidad que caractericen las soluciones no negativas del sistema de ecuaciones lineales $Ax=b$ Es decir, ¿cuándo hay un $x\geq 0$ tal que $Ax$ = $b$ ?
Estoy seguro de que se trata de un resultado muy conocido, pero no encuentro la respuesta fácilmente. Cualquier referencia sería útil. Esto ( http://www.jstor.org/pss/1968384 ) parece relacionado pero no es gratuito.
Tal vez esto debería ser un comentario, pero es demasiado largo.
El resultado clásico utilizado para la existencia es ( Lemma de Farkas ), aunque esto da una condición de no existencia en lugar de una condición de existencia. Dice que dado cualquier problema de este tipo hay otro problema de este tipo asociado a él y exactamente uno de ellos tiene solución. Es equivalente a los teoremas del hiperplano de separación, de la dualidad de la programación lineal y del minimax.
En cuanto a la unicidad, no conozco una caracterización directa. Dado un sistema específico de este tipo se puede determinar la unicidad tratando de minimizar y maximizar cada coordenada sobre el conjunto factible. El mínimo y el máximo son iguales para todas las coordenadas si y sólo si la solución es única (de hecho, uno podría salirse con la resolución de $n+1$ LP en lugar de $2n$ ). Pero esto no da una condición analítica directamente aplicable.
Por último, cabe señalar en referencia al comentario de Wadim, que la unicidad puede ser una cuestión sutil para los programas lineales. En particular, es posible que el subconjunto afín definido por las ecuaciones tenga dimensión positiva, pero intersecte el cono positivo en un único punto. Por ejemplo, consideremos la ecuación homogénea $x_1 + \ldots + x_n = 0$ . Esto tiene una solución no negativa, la solución cero. No importa cuántas ecuaciones homogéneas linealmente dependientes o independientes se añadan, esto seguirá siendo cierto. Así que el rango de A no determina la unicidad.
El siguiente trabajo parece ser exactamente lo que desea.
M. Wang, y A. Tang. Conditions for a Unique Non-negative Solution to an Underdetermined System.
en Proc. of Allerton Conference , Monticello, Illinois, Sep. 2009.
Aquí está el enlace: http://networks.ece.cornell.edu/meng/pub/Allerton09.pdf
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