Un problema en tu intento es que has puesto $w = e^{it}$ pero luego han sustituido $dt$ por $dw$ en lugar de $\frac{dw}{iw}$ por lo que la integral obtenida no es fácil de relacionar con
$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}\operatorname{Re} f(e^{it})\,dt.$$
Pero incluso la integral
$$\frac{1}{2\pi i}\int_{C^+(0,1)} \frac{w+z}{w-z}\frac{f(w)}{w}\,dw = 2f(z) - f(0)$$
no se transforma tan fácilmente en la fórmula deseada.
La forma habitual de obtener la fórmula pasa por la integral de Poisson de funciones armónicas.
Fijación de $z \in \mathbb{D}$ consideramos la función
$$g(w) = \frac{f(w)}{1 - \overline{z}w}$$
que es holomorfa en una vecindad $\overline{\mathbb{D}}$ y por tanto por la fórmula de la integral de Cauchy tenemos
$$g(\zeta) = \frac{1}{2\pi i}\int_{C^+(0,1)} \frac{g(w)}{w-\zeta}\,dw = \frac{1}{2\pi i}\int_{C^+(0,1)} \frac{f(w)}{(1-\overline{z}w)(w-\zeta)}\,dw.$$
En particular, para $\zeta = z$ obtenemos
\begin{align} \frac{f(z)}{1-\lvert z\rvert^2} &= \frac{1}{2\pi i}\int_{C^+(0,1)} \frac{f(w)}{(1-\overline{z}w)(w-z)}\,dw\\ &= \frac{1}{2\pi i}\int_{C^+(0,1)} \frac{f(w)}{(\overline{w}w-\overline{z}w)(w-z)}\,dw\\ &= \frac{1}{2\pi i}\int_{C^+(0,1)} \frac{f(w)}{(\overline{w}-\overline{z})(w-z)}\frac{dw}{w}\\ &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{f(e^{it})}{\lvert e^{it}-z\rvert^2}\,dt, \end{align}
y de ahí
$$f(z) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1-\lvert z\rvert^2}{\lvert e^{it}-z\rvert^2}f(e^{it})\,dt.\tag{1}$$
La representación integral $(1)$ es válida para todas las funciones $f$ holomorfa en una vecindad del disco unitario cerrado [basta con que la función sea continua en el disco unitario cerrado y holomorfa en el disco unitario abierto]. Pero el núcleo de Poisson
$$P(w,z) = \frac{1-\lvert z\rvert^2}{\lvert w-z\rvert^2}$$
es de valor real, por lo que podemos tomar partes reales y obtener la representación integral
$$h(z) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1-\lvert z\rvert^2}{\lvert e^{it}-z\rvert^2} h(e^{it})\,dt\tag{2}$$
para todas las funciones $h$ armónica en una vecindad del disco unitario cerrado - una función armónica de valor real en una vecindad del disco unitario cerrado es la parte real de una función holomorfa en a (posiblemente menor, si el dominio de $h$ tiene agujeros fuera del disco unitario) vecindad del disco unitario.
Ahora observamos que
$$\frac{\lvert w\rvert^2-\lvert z\rvert^2}{\lvert w-z\rvert^2} = \operatorname{Re} \frac{w+z}{w-z},$$
y, por tanto, para los armónicos de valor real $h$ tenemos
$$h(z) = \operatorname{Re} \left(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z} h(e^{it})\,dt\right).\tag{3}$$
Pero, para cualquier $g\colon \partial \mathbb{D} \to \mathbb{C}$ la función
$$z \mapsto \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}g(e^{it})\,dt$$
es holomorfa en el disco unitario abierto. Por lo tanto
$$\tilde{f}(z) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}\operatorname{Re} f(e^{it})\,dt$$
es una función holomorfa en el disco unitario, y por $(3)$ tenemos $\operatorname{Re}\tilde{f} \equiv \operatorname{Re} f$ Por lo tanto $f - \tilde{f}$ es una función holomorfa que sólo alcanza valores puramente imaginarios, por tanto constante. Y
$$f(0) - \tilde{f}(0) = f(0) - \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \operatorname{Re} f(e^{it})\,dt = f(0) - \operatorname{Re} f(0) = i\operatorname{Im} f(0).$$
