Tratando de resolver la siguiente integral, con $n,m \in \mathbb{Z^+}$, $\alpha>1$, $0 < \epsilon < 1$, y $\Gamma(.)$ $\Gamma(.,.)$ gamma y gamma incompleta funciones, respectivamente: $$I(\alpha,m,n) = \frac{(\alpha (n-1))^n }{\Gamma (n)-\Gamma \left(n,\frac{(n-1) \alpha }{\epsilon +1}\right)}\int_1^{1/\epsilon}e^{\frac{(y-1) (\alpha -\alpha n)}{y}}(y-1)^{n-1} y^{m-n-1} dy$$ Mi enfoque ha sido el siguiente, que conduce a la expresión de la integral con funciones gamma, lo que provoca problemas de precisión. Desde $(y-1)^{n-1}= \sum _{i=0}^{n-1} (-1)^i \binom{n-1}{i} y^{n-1-i}$, y ya $$\int_1^{1/\epsilon } y^{m-2-i} e^{\frac{(y-1) } de{y}(\alpha\alpha n)} \, dy = \frac{e^{\alpha (1 - n)} \left(\frac{1}{\alpha\alpha n}\right)^{i-m} (\Gamma (i-m+1,\alpha -n \alpha )-\Gamma (i-m+1,-(n-1) \alpha \epsilon ))}{\alpha (n-1)},$$ obtenemos como una posible solución de un resumen que muestra las proporciones de las diferencias de las diversas funciones gamma:
$I(\alpha, m,n)=e^{\alpha (1- n)} (\alpha (n-1))^{n-1} $
$$\sum _{i=0}^{n-1} (-1)^i \binom{n-1}{i}\frac{ \left(\frac{1}{\alpha -\alpha n}\right)^{i-m} (\Gamma (i-m+1,\alpha -n \alpha )-\Gamma (i-m+1,-(n-1) \alpha \epsilon ))}{\Gamma (n)-\Gamma \left(n,\frac{(n-1) \alpha }{\epsilon +1}\right)}$$
Ahora el tirón. Yo soy de computación (para control) la expresión de $I(\alpha,m, n)$ integral el uso de la alta precisión de la integración numérica. Con n=10, la integración numérica de los partidos de la función gamma. Más allá de la, lo, las funciones gamma (utilizando Wolfram Mathematica) producen resultados diferentes (y de la familiaridad con el problema, yo sé que el gamma está mal en comparación con el numérico). Sin embargo, necesito $n$$10^4$. Además, otras funciones especiales, tales como la integral exponencial dar peores resultados.
Los resultados aparecen en la imagen adjunta. Con $\epsilon=\frac{1}{100}$, $I(\frac{3}{2},1,n)$:
Las preguntas son:
1) hay una posible forma cerrada para $I$que no impliquen funciones especiales?
2) ¿hay una mejor manera de resolver la integral, evitando la suma?
Con gratitud.
