¿Puede explotar la derivada del valor absoluto de la matriz cuando nos acercamos a matrices singulares?

Question

Sea $ \text{GL}^+_n$ sea el grupo de reales $n \times n$ matrices con determinante positivo, y considerar la función de valor absoluto de la matriz, $| \cdot | : \text{GL}^+_n \to \text{Psym}$ dado por $|A|=\sqrt{A^TA}$ .

( $\sqrt{}$ es la única raíz cuadrada de matriz simétrica positiva-definida).

¿Puede la derivada de $|\cdot |$ (en alguna dirección fija) explotan hasta el infinito cuando $\det A \to 0$ ?

Si esto ocurre, entonces debería haber algunos fenómenos de "alta dimensión", ya que en la dimensión $1$ sólo tenemos el valor absoluto habitual $1$ . (En particular, probablemente deberíamos buscar ejemplos no diagonales).

Si denotamos $|A|=P(A)$ entonces $P^2=A^TA$ Diferenciando esto, obtenemos $$P\dot P + P\dot P = \dot A^T A+ A^T \dot A,$$

y esta ecuación determina unívocamente $\dot P$ (es un Ecuación Silvestre ).

También sé que cuando $A$ es definida positiva, entonces $dP_A $ está limitada independiente de $A$ *, al menos cuando $n=2$ .

*Siempre que sea positivo-definido.

Answer 1

No hay explosiones. Deja que $f:A\in GL_n^+\mapsto\sqrt{A^TA}$ .

Según

Derivada (o diferencial) de la raíz cuadrada simétrica de una matriz

$Df_A:H\in M_n\mapsto \int_0^{\infty}\exp(-t\sqrt{A^TA})(H^TA+A^TH)\exp(-t\sqrt{A^TA})dt$ . Suponemos que $A_s\rightarrow A_0$ donde $A_s\in GL_n^+$ y $\det(A_0)=0$ .

$\textbf{Proposition}$ $Df_{A_s}(H)$ está acotada cuando $H$ está limitada.

$\textbf{Proof}$ . (Basta con demostrar que $tr(Df_{A_s}(H))$ está acotada. (Elimino el $s$ en el cálculo)

$tr(Df_{A_s}(H))=\int_0^{\infty}tr(\exp(-t\sqrt{A^TA})(H^TA+A^TH)\exp(-t\sqrt{A^TA}))dt=$

$\int_0^{\infty}tr(\exp(-2t\sqrt{A^TA})(H^TA+A^TH))dt=tr(\int_0^{\infty}\exp(-2t\sqrt{A^TA})dt(H^TA+A^TH))=$

$tr(1/2(A^TA)^{-1/2}(H^TA+A^TH))=tr(A_s({A_s}^TA_s)^{-1/2}H^T)$ .

La última expresión está acotada porque $A_s({A_s}^TA_s)^{-1/2}$ es ortogonal.

EDIT 1. Respuesta a Asaf Shachar.

i) Queremos demostrar que el $\dfrac{\partial f}{\partial {A_s}_{k,l}}$ están limitadas por una expresión que no depende de $s,k,l$ . Sea $H=[h_{k,l}]$ con $h_{i,j}=1$ y los otros son $0$ . Entonces $tr(Df_{A_s}(H))=\dfrac{\partial tr(f)}{\partial {A_s}_{i,j}}$ Efectivamente, parece que delimitar la traza no basta para resolver el problema.

ii) $\int_0^{\infty}\exp(-2t\sqrt{A^TA})dt=[-1/2(A^TA)^{-1/2}\exp(-2t\sqrt{A^TA})]_0^{+\infty}=$

$1/2(A^TA)^{-1/2}$ .

EDIT 2. Quizás sea más fácil demostrar que $f$ es Lipschitz.

Podemos suponer que $A_s^TA_s$ tiende a $A_0^TA_0=diag((\sigma_i^2)_i)$ donde al menos una $\sigma_i$ es $0$ . Entonces $\sqrt{A_s^TA_s}$ tiende a $\sqrt{A_0^TA_0}=diag((\sigma_i)_i)$ . Queda por demostrar que

$||\sqrt{A_s^TA_s}-diag((\sigma_i)_i)||_2\leq ||A_s-A_0||_2.$