¿Duda elemental en una prueba de la "Introducción a la Topología" de Mendelson?

Question

Estoy leyendo "Introducción a la Topología" de Mendelson e intento resolver el siguiente problema:

La distancia en el problema 2 es: $d''(x,y)=\sum_{i=1}^{n}|x_i -y_i|$ y el teorema $2.3$ es:

Estoy confundido en cómo demostrar las desigualdades allí, porque la distancia dada en el teorema $2.3$ puede ser cualquier cosa, por ejemplo $d_1$ podría ser $k|x_1-y_1|$ con $k>0$ por lo que no parece que la desigualdad se cumpla para todas las funciones de distancia posibles. Por ejemplo: Consideremos los vectores $x=(1,0)$ y $y=(0,0)$ . Si $d(x,y)=\max \{1000|x_1-y_1|,1000|x_2-y_2| \}$ entonces:

$$\overbrace{d(x,y)}^{1000}\leq \overbrace{d'(x,y)}^{1} \leq \overbrace{\sqrt{2} d(x,y)}^{\sqrt{2}\cdot 1000}$$

Lo cual es falso. ¿Qué me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

No creo que se esté perdiendo nada aquí. Debe ser que al definir $d$ es la función de distancia definida en $\mathbb{R}^n$ utilizando el Teorema 2.3, el autor asume que los espacios métricos subyacentes $(X_i,d_i)$ en la definición del espacio producto son todas iguales a $(\mathbb{R},d_e)$ donde $d_e$ es la métrica euclidiana habitual $d_e(x,y)=\lvert x-y \rvert$ en $\mathbb{R}$ . Por lo tanto, $d$ es esencialmente el métrica supremum $d(x,y)=\sup_i \lvert x_i-y_i \rvert$ en $\mathbb{R}^n$ .

Si no se hace esta suposición, se pueden construir muchos contraejemplos como el que has dado en tu pregunta.