¿Qué distribución tiene su máximo uniformemente distribuido?

Question

Consideremos $Y_n$ el máximo de $n$ muestras iid $X_i$ de la misma distribución:

$Y_n = max(X_1, X_2, ..., X_n)$

¿Conocemos algunas distribuciones comunes para $X$ tal que $Y$ se distribuye uniformemente $U(a,b)$ ?

Supongo que siempre podemos "construir una distribución" $X$ para hacer cumplir esta condición para $Y$ pero me preguntaba si una distribución famosa satisface esta condición.

Answer 1

Sea $F$ sea la FDA de $X_i$ . Sabemos que la FCD de $Y$ est $$G(y) = P(Y\leq y)= P(\textrm{all } X_i\leq y)= \prod_i P(X_i\leq y) = F(y)^n$$

Ahora, no es una pérdida de generalidad tomar $a=0$ , $b=1$ ya que podemos desplazar y escalar la distribución de $X$ a $[0,\,1]$ y, a continuación, desplaza y desescala la distribución de $Y$ .

Entonces, ¿qué $F$ tienen que ser para conseguir $G(y) =y$ ? Necesitamos $F(x)= x^{1/n}I_{[0,1]}$ Así que $f(x)=\frac{1}{n}x^{1/n-1}I_{[0,1]}$ que es una densidad Beta(1/n,1).

Comprobemos

> r<-replicate(100000, max(rbeta(4,1/4,1)))
> hist(r)

Answer 2

$F_{X_{(n)}}(x)=[F_X(x)]^n$ por lo que para un uniforme estándar se necesita $F_X(x)=x^{1/n}$ para $0<x<1$ (y $0$ a la izquierda y $1$ a la derecha de ese intervalo), por lo que $f_X(x)=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$ en el intervalo unitario y $0$ en otro sitio.

Es un caso especial de la beta.