¿Cómo demostrar que los difeomorfismos trazan mapas de límites a límites?

Question

Supongamos que tengo un difeomorfismo $f: U \rightarrow V$ donde $U$ es un subconjunto abierto simplemente conexo de $\mathbb{R}^n$ . Consideremos cualquier conjunto abierto o cerrado simplemente conexo $B$ tal que el cierre de $B$ se encuentra en $U$ .

Sea $f(B) = D$ . ¿Se deduce entonces siempre que $f(\partial B) = \partial D$ ? ¿Cómo puedo demostrarlo? Parece que debería ser cierto... Se agradece cualquier comentario o sugerencia.

Answer 1

En realidad sólo necesitas un homeomorfismo para esto, y $B$ y $D$ pueden ser dos subconjuntos cerrados cualesquiera de algunos espacios topológicos (asumo que son cerrados, ya que $f(\overline{B}) = \overline{D}$ ). Se puede demostrar lo contrario, es decir, que los elementos del interior de $B$ se asignan al interior de $D$ y viceversa. De hecho, un elemento $x$ del interior de $D$ está contenido en un subconjunto abierto $W$ de $D$ . Sólo trazar este barrio de nuevo: $f^{-1}(W)$ es una vecindad abierta de la preimagen $f^{-1}(x)$ . Lo mismo ocurre en la otra dirección.

Para demostrar que en general $f(\overline{B}) = \overline{D}$ si $f$ es un homeomorfismo y $f(B)=D$ : la inclusión $\subseteq$ se mantiene porque $f$ es continua, y la otra inclusión porque $f^{-1}$ es continua.

Answer 2

Pues bien, todo homeomorfismo entre dos conjuntos abiertos acotados $M$ y $M'$ sur $\mathbb R^n$ induce una correspondencia de límites en el sentido siguiente:

$x\in \partial M$ corresponde al conjunto de conglomerados $$\{p\in \mathbb R^n: \exists \,(x_n) \to x \text{ such that } F(x_n)\to p\}$$