¿Encontrar la solución del valor de Shapley para un conjunto de jugadores de tamaño n?

Question

Estoy repasando Teoría de Juegos y me he encontrado con esta pregunta:

"El Juego de los Mineros" se define de la siguiente manera. Hay $n (>2)$ mineros que descubren un gran $(>n/2)$ cantidad de lingotes de oro. Se necesitan dos mineros para transportar un lingote. (Supongamos que no es posible volver a la mina para una segunda vuelta). Cada lingote es de igual tamaño y valor. Demuestre que el núcleo de este juego consiste en una única imputación si $n$ es par y está vacío si $n$ es impar. Encuentra la solución del valor de Shapley para este juego".

Puedo, con una metodología muy básica y burda, "demostrar" los dos primeros hechos. Sin embargo no estoy seguro de cómo encontrar la solución del valor de Shapley. Supongo que consiste en $\bar{x} = (0.5, 0.5, ... , 0.5)$ porque la lógica, y sé que para el subconjunto $S$ de todos los jugadores que tenemos $v(S\{i\})-v(S) = 0$ para $|S|$ incluso y $= 1$ para $|S|$ impar.

¿Algún consejo?

(También se agradecerían pruebas modelo para los hechos relacionados con el núcleo, ya que las mías son largas, pero esto sería simplemente un extra).

Answer 1

Sea $v$ sea la función característica del juego y $N$ todo el conjunto de mineros.

Si $n$ es par, $v(N)=n/2$ . Para que una imputación sume $n/2$ la media de las asignaciones combinadas de todos los pares debe ser $\frac12$ y para que la imputación sea coalicionalmente racional, la asignación combinada debe ser como mínimo $\frac12$ para cada par. De ello se deduce que la asignación es exactamente $\frac12$ para cada par.

Si $n$ es impar, $v(N)$ es inferior a $n/2$ . El mismo argumento anterior demuestra que la media de todos los pares es inferior a $\frac12$ pero la asignación a cada par es como mínimo $\frac12$ una contradicción.

El valor de Shapley es $v(N)/n=\frac1n\left\lfloor\frac n2\right\rfloor$ para cada minero, por eficiencia y simetría.