Fallo de unicidad para una EDO lineal

Question

Supongamos que tenemos una EDO lineal con coeficientes polinómicos $p_j(x)$ : $$ p_n(x) y^{(n)}(x)+\dots+p_1(x)y'(x)+p_0(x)y=0 $$ y digamos $x_0$ es una raíz de $p_n(x)$ . ¿Qué se puede decir sobre la unicidad del PIV para esta EDO en $x_0$ ? En particular, si consiguiera demostrar que una solución analítica $y_0(x)$ satisface $y_0(x_0)=y'(x_0)=\dots=y^{(n-1)}(x_0)=0$ ¿se deduce necesariamente que $y_0(x)\equiv 0$ ?

Answer 1

No. Considera el problema de Cauchy $xy'-y=0\;$ , $y(0)=0\;$ . Dispone de soluciones $y=Cx\;$ , $\ C\in\mathbb R\;$ .