Una propiedad de $3 \times 3$ matrices de rotación.

Question

Sea $A$ ser un $3\times 3$ matriz ortogonal con $\det A =1 $ cuyo ángulo de rotación es diferente de $0$ ou $\pi$ y que $ M = A -A^t$

-Muestra que $M$ tiene rango 2, y que un vector no nulo $X$ en el espacio nulo de $M$ es un vector propio de $A$ con valor propio 1.

-Encontrar dicho vector propio explícitamente en función de las entradas de la matriz. $A$ .

Answer 1

Geométricamente, $Mx$ está girando $x$ en una dirección, luego en la contraria, y tomando la diferencia. esta diferencia es siempre cero en el eje de rotación (y sólo en el eje de rotación ya que el ángulo es diferente de $0, \pi$ ):

si $Mx=0$ entonces $A^2x=x$ es decir, girar dos veces un ángulo determinado te devuelve al punto de partida. dado que el ángulo de giro no es $0, \pi$ La única forma de que eso ocurra es que $x$ está en el eje de rotación, es decir $x$ es un vector propio con valor propio $1$ .

intenta encontrar tú mismo el eje de rotación en función de las coordenadas.

Answer 2

Desde $A$ es ortogonal (entradas reales) y det( $A$ )=1, un valor propio de $A$ es 1 y los otros dos son $e^{i\theta}$ y $e^{-i\theta}$ ( $\theta \neq 0$ para el ángulo de rotación no es 0 o $\pi$ ). Sin perder generalidad, tenemos $$Av_1=1v_1$$ $$Av_2=e^{i\theta}v_2$$ $$Av_3=e^{-i\theta}v_3$$

Desde $A$ es normal, $A$ y $A^t$ comparten los mismos vectores propios. Del mismo modo, el conjugado complejo del valor propio de $A$ es el valor propio de $A^t$ correspondientes al mismo vector propio, por lo que tenemos $$A^tv_1=1v_1$$ $$A^tv_2=e^{-i\theta}v_2$$ $$A^tv_3=e^{i\theta}v_3$$

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en $M=A-A^t$ tenemos $$Mv_1=0v_1$$ $$Mv_2=(e^{i\theta}-e^{-i\theta})v_2$$ $$Mv_3=(e^{-i\theta}-e^{i\theta})v_3$$ .

Entonces las conclusiones son obvias.

Answer 3

Pista: cualquier rotación en ${\mathbb R}^3$ es una rotación alrededor de un eje. Esto se debe a que el polinomio característico de $A$ es una cúbica con coeficientes reales, y tiene una raíz real (que es $+1$ en lugar de $-1$ porque el determinante es $1$ ).

Answer 4

Desde $A$ es ortogonal, sabemos que $AA^T=I$ es decir $A^T=A^{-1}$ . Esto implica que $\det(A)=\pm1$ . Se nos da que $\det(A)=1$ .

Una matriz ortogonal representa una isometría; es decir, $$ |Ax|^2=x^TA^TAx=x^Tx=|x|^2 $$ Existen dos tipos de isometrías en $\mathbb{R}^3$ rotaciones y reflexiones. las rotaciones tienen determinante $1$ (conservan la orientación) y las reflexiones tienen determinante $-1$ (invierten la orientación). Así, $A$ es una rotación.

Rotaciones en un ángulo distinto de $0$ ou $\pi$ tiene un vector propio real, el eje de rotación, y tiene un valor propio $1$ . Sea $v$ sea el eje de rotación de $A$ . Es decir, $Av=v$ . Multiplicar por $A^{-1}$ produce $v=A^{-1}v=A^Tv$ . Por lo tanto, $v$ es también un vector propio de $A^T$ con valor propio $1$ . Así, $$ Mv=(A-A^T)v=v-v=0 $$ Supongamos que $Mu=0$ entonces $Au=A^Tu$ . Multiplicar por $A$ produce $A^2u=u$ . Así, $$ Mu=0\implies(A+I)(A-I)u=0 $$ Dado que el único valor propio real de $A$ es $1$ , $A+I$ es invertible, lo que implica que $(A-I)u=0$ . Es decir, $u$ es paralelo al eje de rotación. Por lo tanto, la nulidad de $M$ es $1$ y su rango es $3-1=2$ .

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Para responder a la segunda parte de la pregunta, primero observamos que estamos buscando un vector propio con valor propio $1$ . Eso es un $v$ para que $$ \begin{bmatrix} a_{11}-1&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}-1&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}-1\\ \end{bmatrix} v=0 $$ Para obtener un vector perpendicular a las dos primeras filas de $A$ podemos tomar su producto cruzado: $$ v=\begin{bmatrix} a_{12}a_{23}-(a_{22}-1)a_{13}\\ a_{13}a_{21}-(a_{11}-1)a_{23}\\ (a_{11}-1)(a_{22}-1)-a_{21}a_{12} \end{bmatrix} $$ Dado que las filas de $A-I$ son linealmente dependientes, esto $v$ también es perpendicular a la tercera fila. Si el vector anterior es $0$ (por ejemplo, si las dos primeras filas de $A-I$ son paralelas), entonces prueba el producto cruzado de la segunda y tercera filas de $A-I$ : $$ v=\begin{bmatrix} (a_{22}-1)(a_{33}-1)-a_{32}a_{23}\\ a_{23}a_{31}-a_{21}(a_{33}-1)\\ a_{21}a_{32}-a_{31}(a_{22}-1) \end{bmatrix} $$ o el producto cruzado de la tercera y la primera fila de $A-I$ : $$ v=\begin{bmatrix} a_{32}a_{13}-a_{12}(a_{33}-1)\\ (a_{33}-1)(a_{11}-1)-a_{31}a_{13}\\ a_{31}a_{12}-(a_{11}-1)a_{32} \end{bmatrix} $$