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$f,\ g$ son continuas en $[a,b]$ para demostrar $f-g$ es constante

$f,\ g:[a,b]\mapsto\mathbb{R}$ son continuas de tal forma que $f(x)-g(x)$ es un número entero para todo $x \in[a,b]$ . Para demostrar $f-g$ es constante

Mi intento:
Desde $f$ y $g$ son continuos implica $f-g$ es continua
La imagen continua de un conjunto conexo es conexa por lo que $\{(f-g)(x)|x\in[a,b]\}$ es conexo, pero se trata de un conjunto de números enteros y sólo un subconjunto conexo de números enteros es singleton por lo que $f-g$ es constante

Esta pregunta es un ejercicio bajo Propiedad de Valor Intermedio, así que me preguntaba si hay una solución usando IVP

2voto

DHMO Puntos 156

Sea $f-g$ no sea constante.

Entonces, existen números reales distintos $h$ y $k$ tal que $(f-g)(h) \ne (f-g)(k)$ .

Sin embargo, ambos $(f-g)(h)$ y $(f-g)(k)$ son números enteros.

Como sabemos, entre dos números enteros hay no enteros. Sea $d$ sea un número no entero.

Por IVP, debe haber otro número real $c$ entre $h$ y $k$ tal que $(f-g)(c) = d$ contradiciendo la suposición de que $(f-g)([a,b]) \subseteq \Bbb Z$ .

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