Demostración mediante definición formal: Límite infinito

Question

Me preguntaba cómo obtener la prueba de este límite:

$$\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{{x^2} - x + 1}{x + 4} = -\infty$$

El problema es que no sé qué hacer para encontrar los valores apropiados para hacer válida la implicación de la definición formal (épsilon-delta).

Agradecería si alguien me puede ayudar.

Answer 1

Quieres encontrar $N(M)<0$ (una función en términos de $M<0$ ) tal que

$$x<N(M)\implies \frac{x^2-x+1}{x+4}<M$$

Sea $N(M)\le -4$ . Entonces $x<-4$ y $$\frac{x^2-x+1}{x+4}<M\iff x^2-x+1>M(x+4)$$

$$\iff x^2-x(M+1)+(1-4M)>0$$

Si $M\le -9-2\sqrt{21}$ entonces $\Delta=M^2+18M-3\ge 0$ y que $$N(M)=\min\left\{-4,\frac{M+1-\sqrt{M^2+18M-3}}{2}\right\}$$

Si $M\in(-9-2\sqrt{21},0)$ entonces $$N(M)=\min\left\{-4,\frac{k+1-\sqrt{k^2+18k-3}}{2}\right\}$$

para cualquier $k\le-9-2\sqrt{21}$ por ejemplo, puede dejar que $k=-19$ :

$$N(M)=\min\left\{-4,-11\right\}=-11$$

Respuesta: puede dejar $$N(M)=\begin{cases}\min\left\{-4,\frac{M+1-\sqrt{M^2+18M-3}}{2}\right\}, && M\le -9-2\sqrt{21}\\-11, && M\in(-9-2\sqrt{21},0)\end{cases}$$

Answer 2

Ampliar lo que sabes (como se deduce de tu comentario a continuación de la respuesta eliminada de Kay K.) a un argumento "instantáneo" no es difícil, de hecho.

Si $x < -4$ entonces $$\frac{x^{2}-x+1}{x+4} = x-5 + \frac{21}{x+4} < -9 + \frac{21}{x+4};$$ dado cualquier $M < -9$ tenemos $-9 + 21/(x+4) < M$ si además $$x < \frac{21}{M+9} - 4.$$

Answer 3

Tenga en cuenta que $$\frac{x^2-x+1}{x+4}=\frac{(x+4)(x-5)+21}{x+4}.$$ Tiene que demostrar que dado $M<0$ existe $N<0$ tal que $\frac{x^2-x+1}{x+4}<M$ para todos $x<N$ . Sea $N=\min\{M,-4\}.$ Entonces, si $x<N$ , $$\begin{align*} \frac{x^2-x+1}{x+4}&=\frac{(x+4)(x-5)+21}{x+4}\\ &=(x-5) + \frac{21}{x+4}\\ &<(N-5) + \frac{21}{x+4}\\ &<M+\frac{21}{x+4}\\ &<M. \end{align*}$$ Podemos abandonar el $\frac{21}{x+4}$ porque $x<N \leq -4$ Así que $x+4$ es negativo, por lo que $\frac{21}{x+4}<0$ .