Una distribución de orden k+1 es la suma de dos.

Question

Sea $\lambda$ sea una distribución de orden $k+1$ entonces cómo demostrar $\lambda=\delta'+\mu$ para algunas distribuciones compactas de orden $k$ ?

Answer 1

Sea $\lambda \in \def\E{\mathcal E}\E'(\def\R{\mathbb R}\R)$ de orden $k+1$ . Dado cualquier $\varphi \in \E(\R)$ definir $\bar\varphi \in \E(\R)$ por $\bar\varphi(t) = \int_0^t \varphi(s)\, ds$ . Sea $$ \delta(\varphi) = -\lambda(\bar\varphi) $$ Entonces $\delta$ es de orden $k$ como $$ \def\abs#1{\left|#1\right|}\def\norm#1{\left\|#1\right\|} \let\phi\varphi\abs{\delta(\phi)} = \abs{\lambda(\bar\varphi)} \le C\norm{\bar\varphi}_{k+1} \le C\norm{\varphi}_{k}. $$ Además tenemos $$ \delta'(\phi) = -\delta(\phi') = \lambda(\overline{\phi'}) = \lambda\bigl(\phi -\phi(0)\bigr) = \lambda(\phi) - \phi(0) \cdot \lambda(1). $$ Es decir, si dejamos que $\mu(\phi) = \phi(0) \cdot \lambda(1)$ entonces $\lambda = \delta' + \mu$ .