Combinación lineal (vectores en el espacio)

Question

En primer lugar, lo siento si mi pregunta es demasiado fácil para ustedes, y lo siento por mi por Inglés.. Tengo serios problemas con los vectores jaja ¿Puede alguien ayudarme?

Dados los vectores $$\vec{u} = 4\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k}$$ $$\vec{v} = 3\vec{j}+\vec{k}$$ $$\vec{w} = 2\vec{j}+3\vec{k}$$

Justifique por qué $\vec{v}$ no puede expresarse como una combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{w}$

Gracias.

Answer 1

En $$\left|\begin{matrix} 4&1&-3\\0&3&1\\0&2&3\end{matrix}\right|=28\neq 0$$ encontramos que esta matriz tiene rango completo, es decir, dimensión 3. Por lo tanto, las filas son independientes.

Answer 2

Supongamos que $3j+k=v=\alpha u+\beta w=\alpha(4i+j-3k)+\beta(2j+3k)$ . Por ecuación los coeficientes de $i$ , $j$ y $k$ a la izquierda y a la derecha se obtiene el sistema de ecuaciones lineales: $$0=4\alpha,\quad 3=\alpha +2\beta,\quad 1=-3\alpha+3\beta.$$ ¿Existe alguna solución para este sistema? ¿Qué se puede deducir?

Por supuesto, esta respuesta sólo tiene sentido si los vectores $i,j,k$ son linealmente independientes.

Answer 3

Una combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{w}$ sería un vector de la forma $$a\vec{u}+b\vec{w}=a(4\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k})+b(2\vec{j}+3\vec{k})=(4a)\vec{i}+(a+2b)\vec{j}+(-3a+3b)\vec{k},$$ donde $a$ y $b$ son algunos números. Teniendo en cuenta que $$c_1\vec{i}+c_2\vec{j}+c_3\vec{k}=d_1\vec{i}+d_2\vec{j}+d_3\vec{k}$$ sólo si $c_1=d_1$ , $c_2=d_2$ , $c_3=d_3$ digamos, para no contradecirnos, que hay eran números $a$ y $b$ tal que $a\vec{u}+b\vec{w}=\vec{v}$ es decir, $$(4a)\vec{i}+(a+2b)\vec{j}+(-3a+3b)\vec{k}=3\vec{j}+\vec{k}.$$ ¿Qué $a$ ¿tiene que ser? ¿Qué tiene de malo $b$ ¿Entonces?

Answer 4

Pista: Si escribimos $\vec v = a \vec u + b \vec w $ intentar demostrar que $a=0$ ...