Fundamentos de la lógica

Question

Estoy tratando de entender las matemáticas como los matemáticos hacen. Así, por primera vez me di cuenta de que el uso de conjuntos como la mayor parte fundamental para trabajar con. Pero luego los libros acerca de la teoría de conjuntos uso de las bases de la lógica para definir conjuntos. Así que tengo que empezar con la lógica. Pero la cosa es que los libros acerca de la lógica de uso ya que los conceptos de conjunto de números naturales, el infinito, y al final el mismo proceso de la lógica para definir la lógica misma. Es rally confuso y no sé cómo lidiar con ella. Agradezco sus comentarios, sugerencias, y todo lo relacionado con este.

Answer 1

(Esto empezó como un comentario, pero estaban fuera de control.)

Hablando como una especie de teórico, tengo que decir que mientras que muchos de los matemáticos hablan de conjuntos y utilizar conjuntos en su trabajo, su conocimiento de la teoría es a menudo rudimentarias, en el mejor.

De manera similar, mi conocimiento de la categoría de la teoría es bastante rudimentaria, aunque categoría teoría ha sido propuesta por (al menos) algunos como una alternativa de la fundación. Diablos, mi conocimiento de la lógica es bastante rudimentaria, aunque yo paso mis días en el Kurt Gödel Centro de Investigación para la Lógica Matemática.

Set-teoría de una (supuesta) de la fundación para las matemáticas no tiene nada que ver con los conocimientos requeridos. Todo lo que significa es que si se necesitaba ser hecho, podríamos construir (prácticamente) todos los de la corriente de las matemáticas a partir de las nociones de conjunto y pertenencia. Esto tiene el filosófico ventaja de que las diversas áreas de las matemáticas no están totalmente separados, y no hay ningún problema con el uso de un teorema de, digamos, análisis complejo para demostrar un resultado en, digamos, la teoría de los números: en la base de ambas áreas son "realmente" hablando de juegos (por favor note el susto comillas), y hay una traducción de un área a la otra. Por supuesto, nadie en su sano juicio podría en realidad el estado de el Teorema Fundamental del Cálculo, utilizando sólo los conjuntos y $\in$, mucho menos formalmente probarlo de ZFC.

Entonces, ¿cómo los matemáticos lidiar con ella? Me imagino que a muchos no les importa mucho, y hacen su trabajo con mucho gusto. (La frase "la ignorancia es la felicidad" viene a la mente aquí.) No conocer la declaración formal de que el Axioma Esquema de Sustitución no impiden la aplicación según sea necesario. Igualmente, la Deducción del Teorema de la lógica de primer orden es bastante natural, resultado que los matemáticos se aplican varias veces al día sin darnos cuenta. Si uno realmente se tenía que desarrollar un toque de sofisticación con la lógica y la puesta en teoría, antes de trabajar en topología algebraica, me imagino que la zona iba a morir pronto como la investigación sería retrasado hasta matemáticos adquirido ese conocimiento.

Mi sugerencia es la siguiente. Si usted se encuentra realmente interesado con la lógica matemática, la persiguen. Si usted se encuentra realmente interesado con la teoría, la persiguen. Pero de lo contrario las introducciones que ver estos temas en los capítulos introductorios (o anexos) de textos en las áreas que realmente están interesados por lo general será suficiente para empezar a estudiar esas áreas.