Modularidad potencial y la conjetura de Ramanujan

Question

Un poco de historia: Vamos a $f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} a(n) e^{2\pi i nz}$ sea una eigenforma cuspidal holomórfica clásica en $\Gamma_1(N)$ de peso $k \geq 2$ normalizado con $a(1)=1$ . La conjetura de Ramanujan es la afirmación de que $|a(n)| \leq n^{\frac{k-1}{2}}d(n)$ . Se trata de un teorema, debido a varias personas, pero los principales pasos en su demostración son los dos siguientes:

1. Demuestra que $f$ puede "realizarse" en la cohomología etale de una variedad adecuada. De hecho $f$ en $H^{k-1}$ de un $k-2$ -de la curva elíptica universal sobre $X_1(N)$ . Este paso se debe a Eichler, Igusa, Kuga/Sato y Deligne (que mostraron cómo desingularizar la variedad). Esto reduce la conjetura de Ramanujan a la conjetura de Weil.

2. Demuestra las conjeturas de Weil. Por supuesto, esto se debe originalmente a Deligne, aunque si he entendido bien, ahora hay varias otras pruebas (una prueba p-ádica por Kedlaya, etc.)

Ahora, hay otro aproximación a la conjetura de Ramanujan, esencialmente a través de la functorialidad de Langlands. En particular, si supiéramos para todo $n$ que las funciones L $L(s,\mathrm{sym}^n f)$ eran holomorfas y no evanescentes en el semiplano $Re(s)\geq 1$ se seguiría la conjetura de Ramanujan. Creo que esta observación se debe a Serre Langlands.

En la actualidad, estas propiedades analíticas conocido por los resultados de elevación de modularidad y modularidad potencial de Barnet-Lamb/Clozel/Gee/Geraghty/Harris/Shephard-Barron/Taylor. Sin embargo, las pruebas de modularidad potencial y elevación de modularidad parecen utilizar la conjetura de Ramanujan. De ahí mi pregunta:

¿Pueden las recientes pruebas de modularidad potencial para potencias simétricas de $GL2$ ¿se pueden modificar las formas modulares para que no supongan la conjetura de Ramanujan, dando así una nueva demostración de la conjetura de Ramanujan?

(Si me he equivocado en la historia o las atribuciones, por favor, corríjanme).

Answer 1

Las propiedades analíticas de $L(s,sym^n f)$ seguramente implican a Sato-Tate, y esto se debe a Serre, pero no veo cómo implican a Ramanujan. Lo que Langlands observó es que la automorfía de $L(s,sym^n f)$ en GL(n+1) (supuesto para todos los $n$ ) implica Ramanujan, pero por supuesto analíticamente es una suposición mucho más fuerte (por lo que sabemos), por ejemplo, todos estos $L$ -y la mayoría de sus giros deberían ser enteros con una ecuación funcional (véanse los teoremas inversos de Cogdell y Piatetski-Shapiro).

Answer 2

Dejando de lado la pregunta original, parece que este nuevo documento https://arxiv.org/abs/1812.09999 puede ser relevante. Afirman demostrar la conjetura de Ramanujan para una clase de formas automórficas como consecuencia de resultados de automorfía para potencias simétricas y no (directamente) utilizando el teorema de Deligne, ya que las representaciones de Galois correspondientes en este caso aparentemente no provienen de ninguna manera obvia de la geometría.