Ayuda para calcular $\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x - \sqrt{x}} \right)$

Question

Necesito ayuda para calcular este límite:

$$\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x - \sqrt{x}} \right)$$

Sé que es igual a 1 pero no tengo ni idea de cómo llegar. ¿Alguien puede darme un consejo? No puedo usar l'Hopital. Muchas gracias.

Answer 1

Después de multiplicar por la suma de cuadrados para obtener $2 \sqrt{x}$ en el numerador, en el denominador tienes $\sqrt{x +\sqrt{x}} + \sqrt{x - {\sqrt{x}}}$ así que "retírate $\sqrt{x}$ para obtener $\sqrt{x} (\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}} + \sqrt{1 - \frac{1}{\sqrt{x}}}$ . Después de la cancelación y el límite se obtiene 1.

Answer 2

Primero deshazte de $\sqrt{x}$ y de $\infty$ con la sustitución $t=1/\sqrt{x}$ que transforma el límite en $$ \lim_{t\to0^+}\left( \sqrt{\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t}}-\sqrt{\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}} \right)= \lim_{t\to0^+}\frac{\sqrt{1+t}-\sqrt{1-t}}{t} $$ Esta es la derivada en $0$ de $f(t)=\sqrt{1+t}-\sqrt{1-t}$ ya que $$ f'(t)=\frac{1}{2\sqrt{1+t}}+\frac{1}{2\sqrt{1-t}} $$ tenemos $f'(0)=1$ .

Alternativamente, multiplique por el conjugado: $$ \lim_{t\to0^+}\frac{(1+t)-(1-t)}{t(\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t})} $$