Ayuda para calcular $\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x - \sqrt{x}} \right)$

Question

Necesito ayuda para calcular este límite:

$$\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x - \sqrt{x}} \right)$$

Sé que es igual a 1 pero no tengo ni idea de cómo llegar. ¿Alguien puede darme un consejo? No puedo usar l'Hopital. Muchas gracias.

Answer 1

Sea $x=\left(\frac{t+1}{t-1}\right)^2$ con $t\to 1$ .

A continuación, evalúe el límite

$$\lim_{t\to1}\frac{\sqrt 2 \sqrt{t+1}}{1+\sqrt{t}}$$

Answer 2

Por el teorema de Lagrange, $a>b>0$ garantiza $\sqrt{a}-\sqrt{b} = (a-b)\frac{1}{2\sqrt{c}}$ con $c\in(b,a)$ .
Si dejamos que $a=x+\sqrt{x}$ y $b=x-\sqrt{x}$ obtenemos $$ \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{c}},\quad c\in(x-\sqrt{x},x+\sqrt{x})$$ y puesto que $\sqrt{x\pm\sqrt{x}}=\sqrt{x}(1+o(1))$ el resultado está claro.

Answer 3

CONSEJO

Usa eso

$$ \sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x - \sqrt{x}} =\left( \sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x - \sqrt{x}} \right)\frac{ \sqrt{x + \sqrt{x}}+ \sqrt{x - \sqrt{x}} }{ \sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x - \sqrt{x}} }=$$

$$=\frac{ x + \sqrt{x}- x + \sqrt{x} }{ \sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x - \sqrt{x}} }$$

Answer 4

Me gustan las desigualdades explícitas que se pueden confirmar a mano... En realidad $u \geq 2,$ encontramos $$ \left( u - \frac{1}{2} - \frac{1}{u} \right)^2 < u^2 - u < \left( u - \frac{1}{2} \right)^2 $$

$$ \left( u + \frac{1}{2} - \frac{1}{8u} \right)^2 < u^2 + u < \left( u + \frac{1}{2} \right)^2 $$

Necesitamos $u \geq 2$ porque $$ \left( u - \frac{1}{2} - \frac{1}{u} \right)^2 = u^2 - u -\frac{7}{4} + \frac{1}{u} +\frac{1}{u^2} $$ así que $u=1$ no da la desigualdad que queremos. $$ $$

$$ u - \frac{1}{2} - \frac{1}{u} < \sqrt{u^2 - u} < u - \frac{1}{2} $$

$$ u + \frac{1}{2} - \frac{1}{8u} < \sqrt{u^2 + u} < u + \frac{1}{2} $$

Toma $$ u = \sqrt x $$ así que $x \geq 4$

$$ \sqrt x - \frac{1}{2} - \frac{1}{ \sqrt x} < \sqrt{x - \sqrt x} < \sqrt x - \frac{1}{2} $$

$$ \sqrt x + \frac{1}{2} - \frac{1}{8 \sqrt x} < \sqrt{x + \sqrt x} < \sqrt x + \frac{1}{2} $$

Resta

$$ 1 - \frac{1}{8 \sqrt x} < \sqrt{x + \sqrt x} - \sqrt{x - \sqrt x}< 1 + \frac{1}{ \sqrt x} $$

  x    lower bound         actual             upper bound
  4  0.9375              1.035276180410083  1.5
  5  0.9440983005625052  1.027486296746016  1.447213595499958
  6  0.9489689636920171  1.022520831033128  1.408248290463863
  7  0.9527544408738466  1.019077329344677  1.377964473009227
  8  0.9558058261758408  1.016548303281371  1.353553390593274
  9  0.9583333333333334  1.014611872354577  1.333333333333333
 10  0.9604715292478953  1.01308145723319   1.316227766016838
 11  0.9623110819277796  1.011841408817098  1.301511344577764
 12  0.9639156081756484  1.010816211706107  1.288675134594813
 13  0.9653312377359232  1.009954457590246  1.277350098112615
 14  0.9665923447609469  1.009219933184     1.267261241912424
 15  0.9677251387816048  1.008586390757442  1.258198889747161
 16  0.96875             1.008034339861825  1.25
 17  0.9696830468704584  1.00754900380017   1.242535625036333
 18  0.9705372174505605  1.007118975557603  1.235702260395516
 19  0.9713230332661797  1.006735308900081  1.229415733870562
 20  0.9720491502812526  1.006390888653184  1.223606797749979
 21  0.9727227637205009  1.006079984972172  1.218217890235992
 22  0.9733499104555488  1.005797931788809  1.21320071635561
 23  0.9739356982428656  1.005540890860252  1.208514414057075
 24  0.9744844818460086  1.005305675959844  1.204124145231932
 25  0.975               1.005089620052082  1.2
 26  0.975485483107727   1.004890473669719  1.196116135138184
 27  0.9759437387837656  1.004706326263013  1.192450089729875
 28  0.9763772204369233  1.004535544682177  1.188982236504614
 29  0.9767880827278685  1.004376724590913  1.185695338177052
 30  0.9771782267706181  1.00422865174695   1.182574185835055
 31  0.9775493372466532  1.004090270888218  1.179605302026775
 32  0.9779029130879204  1.003960660536812  1.176776695296637
 33  0.9782402930055377  1.003839012447871  1.174077655955698
 34  0.9785626768571863  1.003724614734089  1.171498585142509

Answer 5

EDITAR

Supongo que necesitas un método básico que preceda a la regla de l'Hospital.

Establecer $x=a^2,\; a>0.$ El límite reescribe $$ \begin{aligned}\sqrt{a^2+a} - \sqrt{a^2-a}=&\;\left(\sqrt{a^2+a} - \sqrt{a^2-a}\right)\frac{\sqrt{a^2+a}+\sqrt{a^2-a}}{\sqrt{a^2+a}+\sqrt{a^2-a}}\\ =&\;\frac{2a}{\sqrt{a^2+a}+\sqrt{a^2-a}}\\=&\; \frac{2}{\sqrt{1+a^{-1}}+\sqrt{1-a^{-1}}}\to 1\; {\text {as}}\; a \to \infty\end{aligned}$$

Mi primera respuesta
$$ \begin{aligned}\sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x - \sqrt{x}}=&\; \sqrt{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)} - \sqrt{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}\\=&\; \sqrt[4]{x}\left( \sqrt{\sqrt{x}+1}-\sqrt{\sqrt{x}-1}\right)\\ =&\; \sqrt[4]{x}\left( \sqrt{\sqrt{x}+1}-\sqrt{\sqrt{x}-1}\right)\cdot\frac{\sqrt{\sqrt{x}+1}+\sqrt{\sqrt{x}-1}}{\sqrt{\sqrt{x}+1}+\sqrt{\sqrt{x}-1}}\\=&\; \sqrt[4]{x}\cdot\frac{2}{\sqrt{\sqrt{x}+1}+\sqrt{\sqrt{x}-1}}\\=&\; \frac{2}{\sqrt{1+x^{-1/4}}+\sqrt{1-x^{-1/4}}}\end{aligned}$$ a partir de donde el límite es $1.$