¿Es "compacto implica secuencialmente compacto" coherente con ZF?

Question

En el nForum hemos debatido sobre la compacidad secuencial. La discusión me ha llevado a darme cuenta de que, ingenuamente, suponía que las redes eran simplemente grandes secuencias, y que podía hacer conjeturas razonables sobre cómo se comportarían las redes pensando en ellas como tales.

No es así. El punto crucial, del que no me había dado cuenta, es que las subredes no son subredes del mismo modo que las subsecuencias son subsecuencias.

Esto salió a relucir en un debate sobre la relación entre compacidad y compacidad secuencial. La compacidad puede expresarse como:

Toda red tiene una subred convergente.

La compacidad secuencial como:

Toda secuencia tiene una subsecuencia convergente.

Así que, en mi ingenuidad, supuse que la compacidad implicaba compacidad secuencial, ya que podía tomar una secuencia, pensar en ella como una red, encontrar una subred convergente, y -tachán- ahí está mi subsecuencia convergente. El error, como señaló Mike Shulman, es que no toda subred de una secuencia es una subsecuencia.

Y, efectivamente, existe un espacio que es compacto pero no secuencialmente compacto. Escribiendo $I = [0,1]$ entonces $I^I$ es compacto pero no secuencialmente compacto. En particular, es posible encontrar una secuencia que no tenga subsecuencia convergente (el argumento es una variante del teorema diagonal de Cantor) pero que tenga muchos puntos de agrupación y, por tanto, muchas subredes convergentes.

Pero la compacidad de $I^I$ parece requerir un Gran Axioma (no exactamente el axioma de elección, o así me lo hacen creer desde que $I$ es Hausdorff, pero casi). Digo "parece" ya que no soy un experto y puede haber una manera de demostrar que este espacio específico, $I^I$ es compacta sólo con los axiomas básicos de ZF.

Esa es básicamente mi pregunta, salvo que soy topólogo, así que me interesan más las implicaciones para las cosas topológicas que la relación exacta entre el axioma de elección y el teorema de Tychanoff (¡y como para aprender eso me basta con leer la página de nLab!). Así que, sin más preámbulos, aquí está la pregunta:

¿Es "compacidad => compacidad secuencial" compatible con ZF?

Esto podría ser respondido por un topólogo, ya que todo lo que se necesitaría para demostrar que esto no es así sería un ejemplo de un espacio que fuera compacto pero no secuencialmente compacto y tal que demostrarlo no requiriera ningún Axioma Grande.

Referencias:

1. Páginas de nLab: compacidad secuencial (tiene más detalles sobre el ejemplo anterior), redes (contiene la definición crucial de una subred), Teorema de Tychonoff (contiene una discusión sobre la fuerza axiomática de este teorema)
2. nDiscusión en el foro: compacidad secuencial

Answer 1

La compacidad secuencial de $[0,1]^{\omega_1}$ es indecidible en ZFC: como se ha señalado anteriormente $[0,1]^{[0,1]}$ no lo es, por lo que bajo CH $[0,1]^{\omega_1}$ no es secuencialmente compacta; por otra parte $\mathrm{MA}+\neg\mathrm{CH}$ es secuencialmente compacta. Así pues, la cuestión sigue abierta.

$\mathrm{MA}$ implica que cualquier producto de menos de un continuo de espacios secuencialmente compactos es secuencialmente compacto. En el caso de $\aleph_1$ muchos y cuando $\mathrm{MA}+\neg\mathrm{CH}$ se supone que se sigue la demostración para productos con un número contable de factores y se obtiene, dada una secuencia $(x_n)$ en el producto, subconjuntos infinitos $A_\alpha$ de $\mathbb{N}$ tal que $(x_n)$ restringido a $A_\alpha$ converge en la primera $\alpha$ y de forma que $A_\alpha\setminus A_\beta$ es finito siempre que $\beta<\alpha$ . $\mathrm{MA}+\neg\mathrm{CH}$ implica ahora que existe un conjunto infinito $A$ tal que $A\setminus A_\alpha$ es finito para todo $\alpha$ . Entonces $(x_n)$ restringido a $A$ converge en el producto completo.

Una muy buena introducción sigue siendo el artículo de Mary Ellen Rudin en el Handbook of Mathematical Logic.

Answer 2

Si dejas que $X=\prod_{\mathbb{R}}[0,1]$ . Por el Teorema de Thychonoff esto es compacto. Pero se puede construir una buena secuencia por diagonalización tal que no tenga una subsecuencia convergente: dejemos que dicha subsecuencia consista en un grupo de $0$ y $1$ y no converge en $[0,1]$ . Este es básicamente su ejemplo.

Ahora bien, si no queremos AC a continuación, dejar que $X=\prod_{\omega_1}[0,1]$ : aquí no hace falta AC, esto es compacto en ZF. De hecho $\omega_1$ ya está bien ordenado. Este espacio no es secuencialmente compacto.

Por tanto, la compacidad no implica compacidad secuencial en ZF.

Lo que he escrito puede ser un completo disparate, soy un principiante en estas cosas, pero ¿por qué no intentar escribir una respuesta?

Edición: cualquier cosa que vaya a parecerse al Stone-Cèch o involucrar ultrafiltros va a necesitar alguna elección, así que tal vez necesitamos un ejemplo que no está relacionado con la estructura de la Stone-Cèch

Edición # 2: espera, ¿qué pasa si tomamos un producto arbitrario de Tychonoff tablones. Así que, básicamente, parece que $X=\prod_{A}[0,\omega_1]$ X $[0,\omega$ ]. Esto es compacto. ¿Es secuencialmente compacto? Esto no se parece a la primera contable.

Answer 3

Este problema ya está resuelto. Véase Horst Herrlich: "The Axiom of Choice" Springer