Problemas sencillos pero serios para edificación de los no matemáticos

Question

Cuando la gente se gradúa con honores en universidades prestigiosas pensando que ya se sabe todo sobre matemáticas y que el campo consiste en memorizar algoritmos, entonces el sistema educativo ha fracasado en uno de sus principales empeños.

Si los miembros de la próxima promoción de primer año van a cursar sólo una asignatura de matemáticas de un semestre antes de convertirse en los mencionados licenciados, esto es lo que creo que podría hacer (y este post es en realidad una pregunta, como verán). No tendría un programa fijo de temas que el curso deba cubrir al final del semestre. Asignaría temas muy sencillo pero serio problemas que no les diría a los alumnos cómo hacer. Algunos ejemplos sencillos:

• $3 \times 5 = 5 + 5 + 5$ y $5 \times 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3$ . ¿Por qué esta operación así definida debe ser conmutativa?
• Un nenúfar tiene una sola hoja que flota en la superficie de un estanque. La hoja duplica su tamaño cada día. Al cabo de 16 días cubre todo el estanque. ¿Cuánto tardará dos tales hojas para cubrir todo el estanque. (Aquí muchos alumnos dicen "8 días". Podría advertirles de ello. Este es el problema más difícil asignado en un curso de álgebra que impartí, según la mayoría de los alumnos).
• Aquí hay un cuadrado que circunscribe un círculo. [Ilustración aquí.] Así es como se usa esto para ver que $\pi<4$ . [Explicación aquí.] Ahora averigua cómo probar que $\pi > 3$ mediante un argumento igualmente sencillo.
• Los múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...... Los múltiplos de 18 son 18, 36, 54, 72, 90, ..... El menor que tienen en común es 36. Los múltiplos de 63 son 63, 126, 189, 252, 315, 378,..... Los múltiplos de 77 son 77, 154, 231, 308, 385,.... ¿Podría continuar esta secuencia eternamente sin que apareciera ningún número en ambas listas? (Respuesta habitual: sí, porque 63 y 77 no tienen nada en común.) ¿Es cierto que, independientemente del par de números con el que se empiece, al final aparecerá algún número en ambas listas?

He dicho simple pero serio Esto último significa que realmente aprenderán algo que merezca la pena aprender sobre matemáticas o sobre cómo pensar las matemáticas. No todas tienen por qué ser tan elementales como éstas. Con algunos de los problemas menos elementales podría esbozar una solución o escribir una solución en detalle y luego hacer preguntas sobre la solución.

No fijaría de antemano la fecha de entrega de los problemas, sino que establecería plazos después de que la discusión revelara que se han superado las dificultades graves. También podría hacer alguna "tomadura de pelo" en relación con diversos temas matemáticos no tratados.

HE AQUÍ LA CUESTIÓN: ¿Qué libros de problemas publicados pueden recomendar los participantes en este foro para este fin? ¿Por qué esos?

Answer 1

Una buena opción es "La magia de los números", de Gross y Harris (no confundir con un libro del mismo título de ET Bell), escrito para la clase del mismo nombre que Gross impartía en Harvard. Los problemas incluyen algunas cosas sobre, por ejemplo, números catalanes, y algo de aritmética modular razonablemente seria (por ejemplo, cifrado RSA) con un mínimo de bagaje, lo que debería recomendar el libro a los no matemáticos.

La serie El arte de resolver problemas ( aquí ) también es bastante bueno. Aprendí mucho con algunos de esos libros cuando estaba en el instituto: tienen muchos ejercicios, desde muy fáciles hasta problemas que yo, al menos, encontré bastante difíciles. Y se habla mucho de técnica que creo que los no matemáticos a menudo encuentran a faltar en otros libros de texto.

Y toda la obra de Martin Gardner es estupenda, y creo que esa recomendación probablemente no requiera ninguna explicación.

Answer 2

Su enfoque pedagógico suena sospechosamente parecido al de muchos Círculos Matemáticos. La Asociación Nacional de Círculos Matemáticos tiene listas de problemas en su sitio web . Aquí hay otro conjunto de problemas que parece interesante.

Si su intención es dejar a estos estudiantes con la sensación de que existe una fabulosa investigación continua en matemáticas, le recomendaría la Cinco reglas de oro: Grandes matemáticas del siglo XX y por qué son importantes. Es bastante accesible porque se centra en las ideas generales.

Answer 3

Por lo general, los libros de problemas publicados pretenden empujar a los estudiantes de matemáticas serios, aplicados y quizá con talento hacia una mentalidad orientada a la investigación. Si lo que quiere es una colección de problemas encuadernados para la enseñanza general, supongo que tendrá que escribirla usted mismo. Pero probablemente le desaconsejaría la publicación de un libro así, por el motivo siguiente: no enseñe hasta que vea el blanco de sus ojos. Un problema matemático que funcione con un grupo puede, de forma impredecible, derrotar o insultar la inteligencia de otro. Y, como podría indicar la respuesta a su otra pregunta, los profesores de matemáticas tendrán opiniones muy diversas sobre lo que constituye un conocimiento parcial valioso de las matemáticas.

Dicho esto, si tuviera un público de estudiantes muy inteligentes pero no especialmente orientados a las matemáticas, podría centrar su "última mirada" a las matemáticas en Conceptual Mathematics de Lawvere y Schanuel (que tiene muchos problemas buenos). Los autores se muestran tan sabios como inteligentes. Aunque el libro podría salvar el alma de un matemático extraviado, no alberga ninguna agenda oculta que signifique ignorar las necesidades del público en general. Y aunque puede remediar accidentalmente algunas confusiones inducidas por la escuela secundaria, incluso los estudiantes mejor formados encontrarán la mayor parte de lo que dicen los autores a la vez muy nuevo y muy fundamental.

Math Talks for Undergraduate, de Serge Lang, también me atrae, pero donde Lawvere y Schanuel ayudan a un estudiante a pensar en el mundo en general de una forma más matemática, Lang quiere que los no matemáticos entiendan mejor lo que hacen los matemáticos.

Los profesores de matemáticas suelen considerar sagrado el dicho de que "las matemáticas no son un deporte para espectadores". En el caso de una clase de estudiantes de educación general que ven las matemáticas en el aula por última vez, y a riesgo de blasfemar, cuestiono esto, cuestiono si hacer que estos estudiantes intenten principalmente resolver problemas por sí mismos constituye necesariamente el mejor uso de su tiempo. Creo que la comunidad matemática ha descuidado el desarrollo de la literatura de lo que podríamos llamar matemáticas espectadoras orientadas a la prueba. Pero aún así podría recomendar un libro: Hace poco impartí un curso sobre Episodios de la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX, de Ross Honsberger, en el que me centré en lecturas atentas de pruebas complicadas pero elementales de hechos concretos y a menudo espectacularmente contraintuitivos, material que la mayoría de los estudiantes de matemáticas nunca verán por no ser suficientemente moderno. Pero como modelo de juguete de lo que hacen los matemáticos, funcionó muy bien para mis alumnos.

Answer 4

"Heard on the Street", de Timothy Falcon Crack, es una colección de acertijos que supuestamente se planteaban a los candidatos a las entrevistas de trabajo en Wall Street. El libro tiene muchas más preguntas como las que has planteado: la mayoría pueden resolverse sin necesidad de una pesada maquinaria matemática, pero todas requieren un poco de ingenio.

Desgraciadamente, el libro se ha hecho lo bastante famoso como para que los recién licenciados que aspiran a un empleo en banca memoricen a menudo todos los problemas, con lo que todo el proceso resulta inútil.

Answer 5

¿Qué le parece La Teoría de los restos por Andrea Rothbart.

Recuerdo que hace tiempo estaba luchando con el concepto de aritmética modular y me topé por casualidad con el libro mencionado. Está muy bien escrito, de forma poco ortodoxa, como un diálogo entre dos personas que hablan de aritmética modular. El libro introduce conceptos básicos de álgebra abstracta y tiene un montón de ejercicios "sencillos, pero serios". Si no recuerdo mal, motivaba muy bien el concepto de campo. Por encima de todo, se escribió pensando en un público de secundaria, por lo que los estudiantes de primer año no deberían sentirse desalentados por el nivel de dificultad. El estilo del libro también me pareció atractivo. Me atrevería a decir que me picó el gusanillo de la teoría de números poco después de leerlo.