Inducir orientaciones en variedades límite

Question

Dada una $k$ -manifold $M$ tal que $\partial M$ es un $(k-1)$ -existe una forma estándar en la que $\partial M$ hereda la orientación de $M$ . Así que si $M$ está orientado por el campo de formulario $\omega$ entonces $\omega_\partial=\omega(v_{\text{out}},v_1,\dots,v_{k-1})$ orienta $\partial M$ donde el $v_1,\dots,v_{k-1}$ son vectores base para un espacio tangente en un punto de la frontera, y $v_\text{out}$ es un vector dirigido hacia el exterior (véase aquí: http://math.ucsd.edu/~jeggers/math31ch/piezas.pdf que sigue la exposición de Hubbard & Hubbard).

En la práctica me parece muy difícil de interpretar. ¿Cómo se puede encontrar este $v_\text{out}$ ¿en la práctica?

Por ejemplo $M$ definido por $z=x^2+y^2$ para $x\ge0$ (técnicamente un colector con límite, de hecho un semiparaboloide). Es un hecho que $\partial M$ está definida por la parábola $z=y^2$ . Si $M$ está orientado por $dx\wedge dy$ ¿cómo induce esto una orientación en la frontera (de hecho deberíamos obtener una 1-forma que induzca una orientación en la frontera)?

Nota: Toda la discusión sobre la orientación de los límites me parece bastante torpe en su exposición. En el caso de las superficies que inducen orientaciones en curvas límite, originalmente me enseñaron a imaginar que el vector normal que induce la orientación de la superficie soy yo caminando sobre la superficie. Esta normal debe caminar a lo largo de la frontera de tal forma que la superficie quede a su izquierda. Vale, pero ¿cómo se traduce esto a la $v_{\text{out}}$ para que podamos generalizar a otras dimensiones con facilidad).

Edición: Una respuesta ideal fusionaría el enfoque intuitivo con el riguroso, si fuera posible. ¡Agradecería a cualquiera que pudiera ayudar a ordenar mi (de momento confusa) comprensión!

Answer 1

Antes de hablar del límite de una variedad, quizá sea mejor estudiar el caso de las hipersuperficies incrustadas en general, y para ello seguiré el libro de Lee Intro to Smooth Manifolds.

Sea $M$ ser un liso, orientado, $n$ -y $S$ sea un ( $n-1$ ). Sea $\omega$ ser una forma de orientación en $M$ de modo que $\omega$ es sólo una desaparición en ninguna parte $n$ -forma. Nos gustaría encontrar una manera de ajustar este $\omega$ para definir una $n-1$ formulario en $S$ . ¿Cómo lo hacemos? La clave es que $\omega$ no se desvanece en ninguna parte, entonces (sin pérdida de generalidad) siempre es positivo; es decir, para todo $p \in M$ , $$ \omega_p\left(\left.\frac{\partial}{\partial x_1}\right|_p,\ldots,\left.\frac{\partial}{\partial x_n}\right|_p\right) >0$$ donde los parciales forman una base para $T_pM$ . Si tomamos $p \in S$ entonces $T_pS$ dará uso $n-1$ vectores para introducir en $\omega_p$ por lo que nuestro objetivo es encontrar un campo vectorial $v_\text{out}: S \to TM$ tal que si $B_p=\left\{\left.\frac{\partial}{\partial x_1}\right|_p, \ldots, \left.\frac{\partial}{\partial x_{n-1}}\right|_p\right\}$ es una base para $T_pS$ entonces $\{(v_\text{out})_p\} \cup B_p$ es una base para $T_pM$ . En ese caso podemos definir un $n-1$ formulario $\hat \omega_p$ en $S$ como $$ \hat \omega_p\left(\left.\frac{\partial}{\partial x_1}\right|_p,\ldots,\left.\frac{\partial}{\partial x_{n-1}}\right|_p\right) = \omega_p \left((v_\text{out})_p,\left.\frac{\partial}{\partial x_1}\right|_p,\ldots,\left.\frac{\partial}{\partial x_{n-1}}\right|_p\right)$$ que también será positivo para cada $p \in S$ desde $\omega$ es positivo para cada $p \in S \subseteq M$ .

¿Cómo podemos garantizar que $(v_\text{out})_p$ es siempre "linealmente independiente" de $B_p$ ? Simplemente exigimos que $(v_\text{out})_p$ nunca miente en $T_pS$ ¡!

Ahora bien, si nos fijamos específicamente en los límites, nuestra discusión anterior sugiere que encontramos un campo vectorial $N: \partial M \to TM$ tal que $N_p \notin T_p\partial M$ (suelen denominarse campos vectoriales hacia el interior). La orientación de Stokes consiste en tomar la $-N$ y definir el $\hat \omega_p$ como arriba.

La otra forma de definir las orientaciones inducidas es hacerlo en función de los gráficos, de manera que basta con fijarse sólo en el plano medio superior $$ \mathbb H^n = \{(x_1,\ldots,x_n) \in \mathbb R^n: x_n \geq 0\}.$$ Difeomorfismos $T: \mathbb H^n \to\mathbb H^n$ con jacobiano positivo inducen difeomorfismos $\partial T: \partial \mathbb H^n \to \partial \mathbb H^n$ con jacobiano positivo (se trata de un ejercicio sencillo pero engorroso con determinantes). La forma de orientación en $\mathbb H^n$ es la forma estándar $\omega = dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_n$ y el vector $-\frac{\partial}{\partial x_n}$ apunta hacia el exterior a lo largo de la frontera. Además, $$\omega\left(-\frac{\partial}{\partial x_n}, \frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_{n-1}} \right) = (-1)^n \omega\left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_{n}} \right)$$ por lo que esto sugiere que debemos tomar $\hat \omega = (-1)^n dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{n-1}$ es la orientación inducida en $\partial \mathbb H^n$ . A continuación definimos el límite inducido en $\partial M$ ser $$ [\partial M] = \phi^*[\partial \mathbb H^n]$$ donde los corchetes son la clase de equivalencia de las orientaciones y $\phi: M \to \mathbb H^n$ es un gráfico de coordenadas de $M$ .

Answer 2

En su ejemplo, utilicemos $x$ y $y$ como coordenadas para $M$ . El vector exterior en la frontera debe ser tangente a M. Una elección adecuada es $-\partial_x$ considerado como un vector base de coordenadas en $M$ . El signo menos está ahí porque $M$ es positivo $x$ lado, por lo que el hacia el exterior vector debe apuntar a negativo $x$ valores. Por lo tanto, la orientación inducida en la frontera es $-\partial_x\cdot(dx\wedge dy)= -dy$ . Así, la orientación en la frontera va de positivo $y$ a negativo $y$ .

Answer 3

En primer lugar, debe decirnos qué $\omega$ ¡¡es!! Voy a suponer que es su forma de volumen / área.

La cuestión es utilizar la propiedad de evanescencia en ninguna parte de esta forma de dimensión superior.

En su superficie, un vector tangente $v_1$ a $z=y^2$ sólo está en el $z$ y $y$ direcciones. Así que tenemos $dx\wedge dy(v_0,v_1)=c\cdot dx(v_0)$ que debe ser distinto de cero. Así, $v_0$ está (al menos) en el $x$ -dirección, y depende de un $(-1)$ -escalar si apunta hacia dentro o hacia fuera. Se puede hacer $v_0$ normal utilizando la métrica en su superficie y exigiendo $v_0$ sólo en la $x$ -(ortogonal a $v_1$ ).