Propiedades de $H\lhd N(H)$ para $H\subset S_n$

Question

Supongamos que nos dan un subgrupo $H$ de $G=S_n$ . ¿Cuáles son algunas técnicas para estudiar la estructura de $N_{G}(H)/H$ especialmente en el caso de que $H=\langle \sigma,\tau\rangle$ ?

Nota: $\sigma,\tau$ son permutaciones arbitrarias en $S_n$ . Si cree que sólo puede progresar imponiendo restricciones adicionales a $\sigma,\tau$ está bien, pero en última instancia me interesa el caso en que $\sigma,\tau$ son "complicados".

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Algunas preguntas concretas que me interesan:

1. ¿Cuál es la forma más sencilla de calcular $[N_G(H) : H]$ ?
2. ¿Podemos integrar $N_G(H)/H$ en $S_n$ ?
3. ¿Podemos hacer alguna afirmación sobre conjuntos de transversales de $N_G(H)/H$ ?
4. Cuáles son los subgrupos $\langle\sigma,\tau\rangle\subset S_n$ que se autonormalizan?
5. ¿Podemos caracterizar los subgrupos autonormalizadores de $S_n$ ?

Answer 1

La respuesta a la pregunta 2 es no. He encontrado un contraejemplo por cálculo de fuerza bruta. Sea $G=S_{12}$ , $\sigma=(1, 4)(2, 3)(8, 10)(9, 11)$ , $\tau= (5, 6)(7, 12)(8, 10)(9, 11)$ y $H=\langle \sigma, \tau \rangle$ . Entonces $N_G(H)$ tiene orden 3072, y el cociente $N/H$ tiene la orden 768. Acabo de comprobar que $Q$ no es isomorfo a ninguno de los 10723 subgrupos (contando hasta conjugación) de $G$ .