Cociente de un grupo por el núcleo de un homomorfismo de grupo

Question

Así que me presentaron la siguiente definición y propuesta:

Sea $(A, +)$ y $(B, +')$ sean dos grupos abelianos y sea $f: A \rightarrow B$ sea un morfismo. Definimos el núcleo de un morfismo como $$ker(f) = \{a \in A : f(a) = 0_B\}$$ donde $0_B$ denota el elemento neutro de $B$ . Entonces $ker(f)$ es un subgrupo de $A$ y existe un morfismo único: $$\bar{f}: A/ker(f) \rightarrow B$$

Es la primera vez que me encuentro con la noción de núcleo, pero creo que entiendo el concepto. También conozco los grupos cocientes, entiendo la definición de dividir un grupo por una relación de equivalencia en clases de equivalencia y también entiendo el ejemplo común $\Bbb{Z}/5\Bbb{Z}$ y similares.

Sin embargo, no me entra en la cabeza qué $A/ker(f)$ realmente es o cómo visualizarlo en mi cabeza. Como, si por ejemplo $ker(f) = \{0_A\}$ entonces $A/ker(f)$ es sólo $A$ . Y si $ker(f) = A$ entonces $A/ker(f)$ es $\{0_A\}$ ¿verdad? Eso es bastante sencillo y tiene sentido para mí. Sin embargo, ¿y si $ker(f) \neq A$ y tiene más de un elemento?

Answer 1

"Sin embargo, no consigo entender qué es realmente A/ker(f), ni cómo visualizarlo en mi cabeza".

Es un grupo cociente $G/N = \{x+N\mid x\in G\}$ donde $G$ es un grupo y $N$ es un subgrupo normal.

Por ejemplo $G=\Bbb R^n$ y $U$ sea un subespacio. Entonces $G/U$ consiste en los subespacios afines $x+U$ que son paralelas a $U$ con "vector de desplazamiento" $x\in G$ .

El ejemplo $f:\Bbb Z\rightarrow\Bbb Z$ es un poco engañoso, ya que los únicos homomorfismos son el mapeo cero y el mapeo de identidad.

Answer 2

Wuestenfux ya te dio una descripción teórica del grupo cociente. Pero a nivel conceptual, debes ver un grupo cociente como la imagen de un homomorfismo de grupo con un núcleo específico. En concreto, debes conceptualizar el grupo $G/\ker\varphi$ En algunos que se comporta exactamente como la imagen de $\varphi$ hasta el reetiquetado. Esta idea se hace rigurosa por el teorema fundamental de los homomorfismos, que tiene un corolario que dice $G/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi$ para cualquier grupo $G$ y cualquier homomorfismo de grupo $\varphi$ con dominio $G$ .

La definición de teoría de conjuntos dada por Wuestenfux es entonces una encarnación específica de tal grupo cociente, que puede utilizarse para demostrar que tal grupo cociente existe en primer lugar.