el grado de cada polinomio irreducible que divide a $x^p-x-a$ es el mismo.

Question

Deje $F$ sea un campo con char $(F)=p>0$ donde $p$ es un primo.
dado $a\in F^\times $ ( $a\not=0$ ) denota \begin{equation*}f(x)=x^p-x-a\end{equation*} Intento demostrar que el grado de cada polinomio irreducible en $F[x]$ que divide $f$ es el mismo.
Me di cuenta de que $f$ no tiene raíces de multiplicidad $>1$ en un campo de división y si la afirmación es correcta entonces todo polinomio irreducible que divide a $f$ debe ser de grado $1$ (o $p$ si $f$ es irreducible). No sé cómo seguir avanzando.

Answer 1

Creo que he encontrado la respuesta. Es fácil comprobar que para cada $i\in\mathbb F_p$ \begin{equation*}f(x)=f(x+i)\end{equation*} Let $f(x)=u\cdot g_1(x)\cdot...\cdot g_k(x)$ where $u\in F^\times $ be the unique factorization of $f$ to irreducibles. $\mathbb F_p$ acts on the set $A=g_1(x),...,g_n(x)$ by mapping (up to multiplying by unit elements) \begin{equation*}g_j(x)\mapsto g_j(x+1)\in A\end{equation*} La acción puede verse como una permutación $\sigma\in S_n$ . se deduce que $\sigma ^p=id$ que aplica que $p\mid n$ así que $n$ debe ser una potencia de $p$ . si $n>1$ significa que $f$ se factoriza a producto de más de $\deg f$ polinomios de al menos grado 1, que no puede ser.