Ampliar los espacios hiperconectados

Question

Un espacio hiperconectado es un espacio topológico tal que cada dos conjuntos abiertos no vacíos tienen intersección no vacía. Llamemos a un espacio $(X,\cal{T})$ maximalmente hiperconectada si está hiperconectada y para cada topología $\cal{T'}$ con $\cal{T'} \supseteq \cal{T}$ y $\cal{T}\neq\cal{T'}$ el espacio $(X,\cal{T'})$ ya no está hiperconectada.

¿Está toda topología hiperconectada contenida en una topología hiperconectada máxima?

Answer 1

Consideremos el espacio hiperconectado $(X, \tau).$

El poset $P=\{\tau': \tau\subseteq \tau', (X, \tau')$ es un espacio topológico hiperconectado $\}$ ordenada por inclusin satisface el requisito del lema de Zorn (toda cadena creciente tiene un límite superior, a saber, la topología generada por la unión de los elementos de la cadena), por lo que tiene un elemento maximal, llámese $\tau'.$ Entonces $(X, \tau')$ es un espacio hiperconectado máximo.

Answer 2

Hay una respuesta positiva que tiene que ver con los ultrafiltros. Sea $(X,\mathcal{T})$ estar hiperconectados. Obsérvese entonces que $\mathcal{F}:=\{V\subseteq X: V\supseteq U \text{ for some non-empty } U\in\mathcal{T}\}$ es un filtro. Así que por el Lemma de Zorn, $\cal{F}$ está contenido en un ultrafiltro $\cal{U}$ .

Reclamación 1 : $(X,(\mathcal{U}\cup\{\emptyset\}))$ es un espacio topológico con topología más fina que $\mathcal{T}$ .

Esto es fácil de comprobar.

Reclamación 2 : $(X,(\mathcal{U}\cup\{\emptyset\}))$ está hiperconectada al máximo.

Desde $\mathcal{U}$ es un filtro, cada dos miembros se cruzan, por lo que está hiperconectado. Ahora toma cualquier topología $\sigma$ con $\sigma\supseteq \mathcal{U}$ y $\sigma$ contiene algún elemento no vacío $A\notin U$ . Si $\sigma$ estuvieran hiperconectadas, entonces $\mathcal{G}:=\{V\subseteq X: V\supseteq U \text{ for some non-empty } U\in\sigma\}$ sería un filtro que contuviera correctamente $\mathcal{U}$ contradiciendo la maximalidad de $\mathcal{U}$ . Así que $(X,(\mathcal{U}\cup\{\emptyset\}))$ está hiperconectada al máximo.