La solución de la ecuación del calor $u_t=\alpha u_{xx}$ es continua en el tiempo $[0,\infty)$

Question

Consideremos la ecuación de calor con condición de contorno de Dirichlet en una varilla metálica de longitud $l$ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}u(t,x)=\alpha\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}u(t,x)\label{eq:edp} \end{equation} \begin{equation} u(t,0)=0\,\,\,\,\,\text{et}\,\,\,\,\,u(t,l)=0\label{eq:bords} \end{equation} \begin{equation} u(0,x)=f(x)\label{eq:condition initiale} \end{equation} Utilizando el método de separación de variables podemos resolver este sistema y obtenemos $$u(t,x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}e^{-\alpha\left(\frac{\pi n}{l}\right)^{2}t}\sin\left(\frac{\pi n}{l}x\right),$$ où $$b_n=\frac{2}{l}\int_0^lf(y)\sin\left(\frac{\pi n}{l}y\right)dy.$$

Utilizando la prueba M de convergencia uniforme, podemos demostrar que para cada $x\in[0,l]$ la función temporal $t\mapsto u(t,x)$ es continua en todos los intervalos $[\epsilon,\infty)$ continua en $(0,\infty)$ . Además, podemos demostrar que para cada $t>0$ la función espacial $x\mapsto u(t,x)$ es continua en $[0,l]$ no importa cómo la función $f$ es ( $f(x)$ se oculta dentro del $b_n$ en la fórmula de la serie y no interviene en la $x$ variable )

Sólo tengo curiosidad por la continuidad de la función del tiempo $t\mapsto u(t,x)$ en $[0,\infty)$ . Para una fecha inicial como $f(x)=\sin\left(\frac{\pi }{l}x\right)$ tenemos esta continuidad ya que en este caso evitamos el misterio de los infinitos y tenemos simplemente $$u(t,x)=be^{-\alpha\left(\frac{\pi}{l}\right)^{2}t}\sin\left(\frac{\pi }{l}x\right).$$ Qué podemos decir de algunos datos iniciales generales $f(x)$ ?

Answer 1

Ha demostrado que la serie converge uniformemente para $(t,x) \in [\delta,\infty)\times[0,l]$ donde $\delta > 0$ y, así, $t \mapsto u(t,x)$ es continua para todo $t > 0$ . Si podemos extender la convergencia uniforme para $t \in [0,\infty)$ entonces continuidad en $t=0$ seguiría, es decir, $\lim_{t \to 0+}u(t,x) = u(0,x) = f(x)$ para todos $x \in [0,l]$ .

Dado que la serie de Fourier $$f(x) = u(0,x)= \sum_{n=1}^\infty b_n \sin \frac{\pi n x}{l}$$ es convergente, es uniformemente convergente, trivialmente, para $t \in [0,\infty)$ . También tenemos que $e^{-\alpha n^2\pi^2t/l^2}$ es monótona decreciente con respecto a $n$ y, uniformemente acotado para todo $t\in [0,\infty)$ desde $|e^{-\alpha n^2\pi^2t/l^2}| \leqslant 1$ . Por la prueba de Abel para la convergencia uniforme de series, se deduce que (con $x$ fijo) la serie

$$u(t,x)= \sum_{n=1}^\infty b_n e^{-\alpha n^2\pi^2t/l^2}\sin \frac{\pi n x}{l}$$

es uniformemente convergente para todo $t \in [0,\infty)$ y, por lo tanto, $t \mapsto u(t,x)$ es continua en $t = 0+$ .