Entiendo lo que significa que un número primo ramifique en un anillo de enteros de un campo numérico. Sin embargo, un número primo infinito es una valoración arquimediana, ¿qué significa que una valoración arquimediana ramifique en un campo numérico?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
slolife
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A petición de Alex dejo mi comentario como respuesta. Deje que $L/K$ sea una extensión finita de campos numéricos. Un campo real $v$ de $K$ (que puede considerarse como una incrustación de $K$ en $\mathbb{C}$ con imagen contenida en $\mathbb{R}$ ) se dice que ramifica en $L$ si se extiende a una incrustación de $L$ en $\mathbb{C}$ con imagen no real. Si todas las extensiones de $v$ a lugares de $L$ son reales (las incrustaciones asociadas tienen imagen real), entonces $v$ no está ramificado (también se dice que está dividido) en $L$ . Un lugar complejo de $K$ (una incrustación en $\mathbb{C}$ con imagen no real) siempre es unramificado. Por lo tanto, la extensión $L/K$ está unramificado en $\infty$ si todos los lugares reales siguen siendo reales.
Por ejemplo, en la extensión $\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q}(\zeta_p+\zeta_p^{-1})$ donde $\zeta_p$ es una primitiva $p$ -enésima raíz de la unidad para algún primo impar $p$ , el campo base es totalmente real (todos sus lugares arquimedianos son reales) mientras que el campo superior es totalmente imaginario, por lo que todos los lugares reales ramifican en la extensión.
