Algoritmo de división de polinomios complejos

Question

La pregunta:

En realidad, esta pregunta no se refiere a la prueba completa, sino sólo a un paso. Sin embargo, me sigue pareciendo un título apropiado. La pregunta es simplemente para demostrar que dado un polinomio $p(z)$ de grado al menos 1, existe un polinomio $h(z)$ de grado $n-1$ tal que $p(z) = (z-z_0)h(z) + p(z_0)$ .

Mi intento:

Escriba a $$ p(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots + a_nz^n, \\ h(z) = b_0 + b_1z + b_2z^2 + \cdots + b_{n-1}z^{n-1}. $$ Entonces tenemos $$ (z-z_0)h(z) = b_0z + b_1z^2 + b_2z^3 + \cdots + b_{n-1}z^n - z_0(b_0 + b_1z + b_2z^2 + \cdots + b_{n-1}z^{n-1}). $$ Comparando coeficientes encontramos $a_k = b_{k-1} - z_0b_k$ con $b_n = 0$ . Así podemos resolver para cada $b_k$ trabajando hacia atrás desde $b_{n-1} = a_n$ .

Ahora, sin embargo, estoy un poco atascado en el $p(z_0)$ parte. Usando el método descrito anteriormente realmente no termino con nada más que $p(z_0) = a_0 + z_0b_0$ y parece que no he utilizado el hecho de que $a_n \neq 0$ en cualquier sitio. Ese último comentario me molesta mucho. Siento que definitivamente debería estar usando el hecho de que $p(z)$ es de hecho de grado $n$ .

Answer 1

En primer lugar, obsérvese que si es cierto para $p$ que $$p(z)=(z-z_0)q(z)-p(z_0)\tag1$$ entonces si $p$ no es constante, $p(z)-p(z_0)$ tiene el mismo grado que $p,$ y obtenemos $\deg q=\deg p-1.$ (Cuando $p(z)$ es constante, $q(z)=0.$ )

Por tanto, el grado de $q$ se deduce simplemente de la existencia de una solución a $(1).$

Entonces, es más fácil demostrarlo primero para el caso concreto $p(z)=z^k.$ $$ \begin{align} p(z)&=z^k\\&=(z^k-z_0^k)+z_0^k\\&=\left((z-z_0)\sum_{i=0}^{k-1}z_0^{i}z^{k-1-i}\right) +p(z_0)\tag2 \end{align} $$

A continuación, observe que si es cierto tanto para $p_1(z)$ y $p_2(z)$ polinomios , entonces es cierto para $p(z)=a_1p_1(z)+a_2p_2(z),$ para $a_1,a_2$ números complejos.

Por último, demostrar por inducción que es cierto para cualquier polinomio $p.$

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Podemos utilizar $(2)$ para obtener una fórmula explícita. Si $$p(z)=\sum_{i=0}^na_iz^i$$

Entonces $$ \begin{align} p(z)-p(z_0)&=\sum_{i=1}^n a_{i}(z-z_0)\sum_{j=0}^{i-1}z_0^{i-1-j}z^j\\ &=(z-z_0)\sum_{j=0}^{n-1}\left(\sum_{i=j+1}^{n}a_iz_0^{i-1-j}\right)z^j \end{align} $$

Así que si $$b_j= \sum_{i=j+1}^{n}a_iz_0^{i-1-j}$$ entonces $$q(z)=\sum_{j=0}^{n-1} b_jz^j$$ es tu cociente.

En $n>0,$ $b_{n-1}=a_n,$ esto también da el grado de $q$ es uno menos que el grado de $p$ $\deg p>0.$

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Esto funciona para polinomios sobre cualquier anillo conmutativo de coeficientes.

El algoritmo de división general no sobre anillos arbitrarios, pero el algoritmo de división general hace trabajan sobre campos, como los campos de los números complejos, los números reales o los números racionales.