Clasificación de álgebras de 1 y 2 dimensiones hasta el isomorfismo

Question

Estoy intentando encontrar todas las álgebras de Lie de 1 ó 2 dimensiones "a" hasta el isomorfismo. Esto es lo que tengo hasta ahora:

Si a es unidimensional, entonces todo vector (y por tanto toda tangente tangente) es de la forma $cX$ . Entonces , por antisimetría, y bilinealidad:

$$[X,cX]=c[X,X]= -c[X,X]==0$$

Creo que esto fuerza un álgebra de Lie única porque los isomorfismos del álgebra de Lie preservan el soporte. También sé que los Reales $\mathbb{R}$ son el único grupo Lie unidimensional, por lo que su álgebra de Lie ( $\mathbb{R}$ también) también es unidimensional. ¿Cómo puedo demostrar que cualquier otra álgebra unidimensional es isomorfa a ésta? ¿Uso la preservación del soporte?

Para 2 dimensiones, intento utilizar el hecho de que la dimensión del álgebra de Lie g de un grupo $G$ es igual a la dimensión del grupo/manifold ambiente $G$ . Sé que todas las superficies (es decir, los grupos de dimensión 2) pueden clasificarse como productos de esferas y Tori, y creo que el único grupo de Lie bidimensional es $S^1\times S^1$ pero no estoy seguro de que todas las álgebras de Lie se puedan realizar como álgebras de Lie de un grupo de Lie (creo que esto es cierto en el caso de dimensión finita, pero no estoy seguro).

Sé que hay un resultado por ahí que todavía no puedo probar que todos los 1- y de Lie de 1 y 2 dimensiones son isomorfas a subálgebras de Lie de $GL(2,\mathbb{R})$ (utilizando la multiplicación de matrices, por supuesto); ¿alguien podría sugerir cómo mostrar esto último? Gracias.

Answer 1

Me encontré trabajando en este mismo problema (para los deberes), y creo que he escrito una solución bastante detallada. Así que voy a publicar aquí, en caso de que sea útil para alguien más.

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Sea $\mathfrak{g}$ sea un álgebra de Lie unidimensional, y sea $\{E_1\}$ sea una base para $\mathfrak{g}$ . Entonces, para dos campos vectoriales cualesquiera $X,Y\in\mathfrak{g}$ tenemos $X=aE_1$ y $Y=bE_1$ para algunos $a,b\in\mathbb{R}$ . Así, $$[X,Y]=[aE_1,bE_1]=ab[E_1,E_1]=0$$ para todos $X,Y\in\mathfrak{g}$ . Por lo tanto, la única álgebra de Lie unidimensional es la trivial. El mapa $$\varphi:\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R})$$ $$\varphi:aE_1\mapsto \left(\begin{array}{ll} a&0\\ 0&0 \end{array}\right)$$ es un homomorfismo del álgebra de Lie, ya que $$\varphi([aE_1,bE_1])=\varphi(0)=\left(\begin{array}{ll} 0&0\\ 0&0 \end{array}\right)\mbox{, and}$$ $$[\varphi(aE_1),\varphi(bE_1)]=\left(\begin{array}{ll} a&0\\ 0&0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} b&0\\ 0&0 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ll} b&0\\ 0&0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} a&0\\ 0&0 \end{array}\right)$$ $$=\left(\begin{array}{ll} 0&0\\ 0&0 \end{array}\right).$$ Así, $\mathfrak{g}$ es isomorfa a la subálgebra de Lie (abeliana) $$\varphi(\mathfrak{g})=\left\{\left(\begin{array}{ll} a&0\\ 0&0 \end{array}\right)\in\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R}):a\in\mathbb{R}\right\}\subset\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R}).$$

Ahora dejemos que $\mathfrak{h}$ sea un álgebra de Lie bidimensional, y sea $\{E_1,E_2\}$ sea una base para $\mathfrak{h}$ . Entonces, para dos campos vectoriales cualesquiera $X,Y\in\mathfrak{h}$ tenemos $X=aE_1+bE_2$ y $Y=cE_1+dE_2$ para algunos $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ . Así, $$\begin{array}{ll} [X,Y]&=[aE_1+bE_2,cE_1+dE_2]\\ &=a[E_1,cE_1+dE_2]+b[E_2,cE_1+dE_2]\\ &=ac[E_1,E_1]+ad[E_1,E_2]+bc[E_2,E_1]+bd[E_2,E_2]\\ &=(ad-bc)[E_1,E_2]. \end{array}$$

Si $[E_1,E_2]=0$ entonces tenemos el álgebra de Lie bidimensional trivial. El mapa $$\varphi:\mathfrak{h}\rightarrow\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R})$$ $$\varphi:aE_1+bE_2\mapsto \left(\begin{array}{ll} a&0\\ 0&b \end{array}\right)$$ es un homomorfismo del álgebra de Lie, ya que $$\varphi([aE_1+bE_2,cE_1+dE_2])=\varphi(0)=\left(\begin{array}{ll} 0&0\\ 0&0 \end{array}\right)\mbox{, and}$$

$$[\varphi(aE_1+bE_2),\varphi(cE_1+dE_2)]=\left(\begin{array}{ll} a&0\\ 0&b \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} c&0\\ 0&d \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ll} c&0\\ 0&d \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} a&0\\ 0&b \end{array}\right)$$ $$=\left(\begin{array}{ll} 0&0\\ 0&0 \end{array}\right).$$ Además, este mapa es fiel (inyectivo). Por lo tanto, $\mathfrak{h}$ es isomorfa a la subálgebra de Lie (abeliana) $$\varphi(\mathfrak{h})=\left\{\left(\begin{array}{ll} a&0\\ 0&b \end{array}\right)\in\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R}):a,b\in\mathbb{R}\right\}\subset\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R}).$$

Si $[E_1,E_2]\neq0$ a continuación, establezca $E_3=[E_1,E_2]$ . Entonces para todos $X,Y\in\mathfrak{h}$ tenemos $[X,Y]=\lambda E_3$ para algunos $\lambda\in\mathbb{R}$ . En particular, para cualquier $E_4\in\mathfrak{g}$ tal que $E_4$ y $E_3$ son linealmente independientes, tenemos $[E_4,E_3]=\lambda_0 E_3$ . Sustitución de $E_4$ con $1/\lambda_0 E_4$ ahora tenemos una base $\{E_4, E_3\}$ para $\mathfrak{g}$ tal que $[E_4, E_3]=E_3$ . El mapa $$\varphi:\mathfrak{h}\rightarrow\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R})$$ $$\varphi:aE_4+bE_3\mapsto \left(\begin{array}{ll} a&b\\ 0&0 \end{array}\right)$$ es un homomorfismo del álgebra de Lie, ya que $$\varphi([aE_4+bE_3,cE_4+dE_3])=\varphi((ad-bc)E_3)=\left(\begin{array}{ll} 0&ad-bc\\ 0&0 \end{array}\right)\mbox{, and}$$

$$[\varphi(aE_4+bE_3),\varphi(cE_4+dE_3)]=\left(\begin{array}{ll} a&b\\ 0&0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} c&d\\ 0&0 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ll} c&d\\ 0&0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} a&b\\ 0&0 \end{array}\right)$$ $$=\left(\begin{array}{ll} 0&ad-bc\\ 0&0 \end{array}\right).$$ Además, este mapa es fiel (inyectivo). Por lo tanto, $\mathfrak{h}$ es isomorfa a la subálgebra de Lie (no abeliana) $$\varphi(\mathfrak{h})=\left\{\left(\begin{array}{ll} a&b\\ 0&0 \end{array}\right)\in\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R}):a,b\in\mathbb{R}\right\}\subset\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R}).$$

Answer 2

Aunque has etiquetado tu pregunta como "geometría diferencial", en realidad es una pregunta de álgebra pura. Aunque tienes razón en que para las álgebras de Lie sobre (por ejemplo) $\mathbb{R}$ existe una profunda relación con los grupos de Lie que motiva su estudio y puede ser útil para demostrar "teoremas puramente algebraicos", me parece que hacer malabarismos entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie te distrae de los temas que nos ocupan.

Un comentario más sobre tu planteamiento teórico de Lie: efectivamente existe una biyección entre grupos de Lie reales conexos y simplemente conexos y álgebras de Lie reales de dimensión finita, pero las estructura del grupo en el lado del grupo Lie no se puede ignorar. No basta con clasificar las variedades que admiten una estructura de grupo de Lie, ya que una misma variedad puede admitir una estructura de grupo de Lie de varias formas distintas. Un ejemplo especialmente relevante es que cualquier grupo de Lie nilpotente --es decir, un grupo de Lie con un álgebra de Lie asociada un álgebra de Lie nilpotente-- es como una variedad isomorfa a $\mathbb{R}^n$ pero la ley de grupo no tiene por qué ser conmutativa.

Volviendo a la clasificación de las álgebras de Lie de dimensión pequeña:

En realidad ya has hecho el caso unidimensional, pues has observado que el corchete de Lie en cualquier álgebra de Lie unidimensional debe ser trivial. Por tanto, dos álgebras de Lie unidimensionales cualesquiera son isomorfas: cualquier isomorfismo de un espacio vectorial sirve.

En dos dimensiones existe de nuevo el álgebra de Lie $L_1$ con soporte trivial, pero también existe un álgebra de Lie no conmutativa $L_2$ . Concretamente, si tomamos una base de $x,y$ de $\mathbb{R}^2$ y definir $[x,x] = [y,y] = 0$ y $[x,y] = -[y,x] = y$ entonces esto funciona para dar un álgebra de Lie. (¡Compruébelo!) Ahora bien, la misma construcción puede hacerse de muchas otras maneras, pero todas son isomorfas a ésta: empiece suponiendo que $[x,y] = ax + by$ con $a$ y $b$ no sean ambas cero y entonces encontrar una nueva base $X$ , $Y$ bajo el cual el soporte es de nuevo $[X,Y] = Y$ . Por tanto, hay exactamente dos álgebras de Lie de dimensión $2$ en $\mathbb{R}$ . En ambos casos, los grupos de Lie correspondientes son isomorfos como colectores a $\mathbb{R}^2$ (hay muchas maneras de ver esto, las palabras mágicas son mapa exponencial y Fórmula Baker-Campbell-Hausdorff probablemente las aprenderás más adelante), pero una de las estructuras de grupo es la habitual en $\mathbb{R}^2$ y la otra es una estructura de grupo no conmutativa.

Nótese, por cierto, que la situación es muy diferente a partir de la dimensión tres: entonces hay infinitas clases de isomorfismo de álgebras de Lie, y de hecho familias continuas de álgebras de Lie. Véase, por ejemplo, la sección 4 de este documento que construye, sobre un campo arbitrario $F$ para cada $a \in F$ un álgebra de Lie $L_a^3$ tal que para $a,b \in F$ , $L_a^3 \cong L_b^3 \iff a = b$ . Así, las álgebras de Lie "varían en módulos" a partir de la dimensión tres.