¿Es esta función a trozos diferenciable en cero?

Question

Sé que $\frac{\sin^2 x}x$ tiene un agujero en $x=0$ . Puedo tomar el límite de la izquierda y la derecha de cero, pero el $x=0$ me confunde.

Answer 1

Voy a empezar: $f(x)$ es diferenciable en cero.

La función $g(x)=\frac{sin^2(x)}{x}$ tiene un agujero en cero, como has observado. Sin embargo, la función definida en tu problema (se llama $f(x)$ ) es muy similar a $g(x)$ excepto que tiene ese agujero en $x=0$ rellenado - para que su función sea agradable y suave, sin saltos, agujeros, bordes, etc.

Podemos ver que el límite a medida que x va a $0$ desde cualquier lado es $0$ Y el valor en $x=0$ es también $0$ . Ahora tu problema quiere que uses la definición de la derivada para pruebe que es diferenciable. Mucha suerte.

Answer 2

$$LHD f'(0^-)=\lim_{h\to0}\frac{f(-h)-f(0)}{-h}$$

$$=\lim_{h\to0}\frac{\frac{sin^2(-h)}{-h}-0}{-h}=\lim_{h\to0}\frac{sin^2(h)}{h^2}=1$$

$$RHD f'(0^+)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}$$

$$=\lim_{h\to0}\frac{\frac{sin^2(h)}{h}-0}{h}=\lim_{h\to0}\frac{sin^2(h)}{h^2}=1$$

Answer 3

Esto es lo que presenté y por lo que recibí todos los créditos. Pensé en compartirlo por si alguien se encuentra con un problema similar en el futuro.