Una generalización de Cauchy ' Teorema del valor medio de s.

Question

El siguiente teorema es conocido como Cauchy del valor medio teorema. Deje $\gamma$ ser una inmersión en el segmento $[0,1]$ en el plano de tal manera que $\gamma(0) \ne \gamma(1)$. Entonces existe un punto tal que la recta tangente en ese punto es paralela a la recta que pasa por a$\gamma(0)$$\gamma(1)$. Así, los valores de límite de una inmersión determinar una dirección tal que para cualquier inmersión de un segmento con los valores límite no existe una línea tangente paralelo a la dirección.

Me gustaría proponer la siguiente conjetura, la generalización de esta declaración. En vez de inmersiones de un segmento consideramos inmersiones de un pacto colector $M^n$ con los no-vacío límite de $\partial M$ a ${\mathbf R}^{n+1}$. Para un mapa de $f\colon \partial M \to {\mathbf R}^{n+1}$ consideramos el espacio de $L(f)$ de todas las inmersiones $g\colon M \to {\mathbf R}^{n+1}$ tal que $g|_{\partial M}=f$.

La conjetura de reclamación es el siguiente: Si $f$ es lo suficientemente genérico, a continuación, para cada componente conectado, $L_0$ del espacio $L(f)$ existe un hyperplane dirección $l$ tal que para cualquier inmersión $g$ a partir de $L_0$ $l$ es paralelo al plano tangente a $g(M)$ en algún momento.

Si la conjetura es verdadera, entonces es muy interesante la forma en que $l$ depende de $g$.

Answer 1

La respuesta es no para $n=2$. Es suficiente para la construcción de 3 superficies con frontera común (dicen $\Sigma_i$, $i\in\{1,2,3\}$) tal que no hay posibilidad de elección de los puntos de $p_i\in\Sigma_i$ parejas con las paralelas de la tangente a los planos.

Tomemos una función suave $f:S^1\to \mathbb R$, $f(t)\approx\sin(2\cdot t)$ con una pequeña protuberancia cerca de cero por lo que cuenta con 3 locales de mínimos y máximos. Queremos construir tres funciones $h_1,h_2,h_3$ desde la unidad de disco $D$ $\mathbb R$tal que cada uno ha $f$ como límite de los valores y

1. si $\nabla h_1(x)=\nabla h_2(y)$ $\nabla h_1(x)=0$

2. $\nabla h_3\not=0$ cualquier lugar en el disco.

A continuación, los gráficos de las funciones de dar la necesaria superficies. Los gráficos de $h_1$ $h_2$ son partes de límite de convex hull de la gráfica de $f:\partial D\to\mathbb R$; es fácil de comprobar (1).

La gráfica de $h_3$ es una superficie reglada que formado por las líneas que pasa a través de los puntos $(u,f(u))$, $(\phi(u),f(\phi(u))\in\mathbb R^3$, $u\in S^1$ para algunos la involución diffeomorphism $\phi: S^1\to S^1$. A tiene la propiedad de que uno tiene que elegir a$\phi$, con dos puntos fijos (decir en mínimos globales de $f$) así que si $f(\phi(x))=f(x)$ algunos $x$$f'(\phi(x)\cdot f'(x)<0$. La tarde es fácil de hacer, que es el lugar necesitamos el golpe de $f$.

P. S. Espero que ahora está correcto :)

Answer 2

Voy a considerar otro contraejemplo, basado en Anton ideas. Yo creo que se ve más simple.

Vamos a construir un dominio cerrado $D$ en un avión y tres funciones en él, con las mismas restricciones a la frontera del dominio tal que no hay posibilidad de elección de los puntos de las gráficas de funciones con pares en paralelo de la tangente a los planos.

Primera observación es el siguiente: sea la función $f$ sobre el plano de coordenadas depende de la coordenada $x$ sólo y función de $g$ depende de la coordenada $y$ solamente. A continuación, $df(a)=dg(b)$ si y sólo si $df(a)=dg(b)=0$. (A mí me parece fundamental que el Anton idea es considerar funciones con muy degenerada mapa de degradado, tener valor en una curva).

Ahora tomamos las funciones $f(x,y)=-x^2$ $g(x,y)=P_4(y)$ donde $P_4$ es un polinomio de grado $4$ con dos ceros, tres pares diferentes valores críticos y líderes plazo $y^4$.

Hemos establecido el dominio de $D$ a ser un conjunto de soluciones de una desigualdad $f \ge h$. Es un subconjunto cerrado en un plano diffeomorphic a una unidad de disco. Definimos las funciones de ahora: la primera función es $f$, la segunda función es la de $g$. La tercera función es una función sin necesidad de puntos críticos en $D$ coincidiendo con una restricción de $f$ (o $g$) a la frontera. Dicha función existe! (se trata de un ejercicio a partir de la teoría de Morse. Debo mencionar aquí que tenemos un polinomio de grado 4 (grado 2 es unsufficient) para satisfacer esa extensión sin puntos críticos de la propiedad).