Problema de clasificación de las variedades no compactas

Question

Antecedentes

Es bien sabido que las variedades compactas bidimensionales están completamente clasificadas (por su orientabilidad y su característica de Euler).

Además, tengo la impresión de que también existe una clasificación para las variedades tridimensionales compactas que proviene de la demostración de la Conjetura de Geometrización y de trabajos relacionados.

Desgraciadamente para $n\ge4$ no es posible una clasificación similar porque se puede demostrar que es al menos tan difícil como el problema de palabras para grupos. Por lo tanto, para las variedades de mayor dimensión nos centramos en clasificar todas las simplemente conectado colectores compactos.

Mi pregunta

¿Por qué en estos "problemas de clasificación" sólo consideramos compacto ¿colectores? ¿Existe alguna razón fácil por la que nos limitemos a la clasificación de los manifiestos compactos? ¿Se desprende fácilmente una clasificación de las variedades generales (no necesariamente compactas) de una clasificación de las variedades compactas?

Answer 1

En cierto sentido, se sabe más o menos cómo deben ser los colectores no compactos siempre que se tenga una clasificación de los colectores compactos. El punto de partida es la observación básica (Whitney) de que una variedad no compacta tiene una función propia $f : M \to R$ . Así, la preimagen de los intervalos $[-n,n]$ para $n=1,2,3,\cdots$ forman una familia anidada de submanifolds compactos de $M$ que agotan el colector siempre y cuando $f$ es transversal a los enteros, lo que puede lograrse.

Así que la comprensión $M$ se reduce a ver cómo se "amontonan" las características de esta familia de submanifolds, y a poner algún tipo de límite ideal razonable en $M$ -- ya que el "límite ideal" es un fenómeno de dimensión inferior, en principio podría inclinarse a pensar que esto es razonable.

Por supuesto, estoy siendo bastante vago, pero parece que estabas buscando algo así.

Por otro lado, debido a lo anterior, las variedades no compactas son objetos decididamente menos combinatorios. No tienen descripciones combinatorias finitas. Larry Siebenmann muestra a la gente el ejemplo de la estructura suave en $I \times \mathbb R^4$ tal que el mapa de proyección $I \times \mathbb R^4 \to I$ es una inmersión suave, pero para la cual las fibras un par no difeomorfo $\mathbb R^4$ 's.

Answer 2

Complementando la respuesta de Ryan: como demostró McMillan (Transactions AMS 102, 373-382) existe un continuo de subconjuntos abiertos no homeomórficos por pares de $\mathbf{R}^3$ . Por tanto, clasificar las variedades no compactas en general es probablemente inútil y son necesarias algunas restricciones (por ejemplo, se pueden considerar sólo los interiores de las variedades compactas con límite que satisfagan algunas condiciones sobre los grupos fundamentales, etc.).

Answer 3

Creo que no es fácil de reducción para el caso compacto. Por ejemplo, la Whitehead manifold es un no-compacto, contráctiles 3-colector de que no es homeomórficos real 3-espacio. Esto sugiere que la no-compacto situación en 3 dimensiones es mucho peor que el pacto (que, como usted señala, es que ahora se conocen bastante bien, después de MUCHO trabajo).

Answer 4

Como se señala en el comentario de Ryan Budney a la respuesta de Richard Kent, las superficies no compactas han sido clasificadas (de una manera muy agradable, de ahí mi necesidad de compartir los detalles).

Ahora mismo no tengo acceso a Jstor, así que confío en mi memoria y, bueno, puede que quieras comprobar todo esto.

El teorema de Ian Richards dice que las superficies no compactas (sin límite) se clasifican por su orientabilidad, su género (posiblemente infinito) y un triple de espacios, cada uno incrustado en el anterior, que son:

1. el espacio de sus extremos,

2. el espacio de sus extremos con el género,

3. el espacio de sus extremos desorientados.

El espacio de extremos se construye tomando una secuencia creciente de subconjuntos compactos que cubren un espacio topológico $T$ y observando los componentes conectados de sus complementos. Un fin de $T$ es una secuencia infinita y decreciente de tales componentes conectados. La cuestión es que se puede hacer eso de forma que no dependa sustancialmente de la secuencia de compactos que se elija.

Por ejemplo, $\mathbb{R}^n$ sólo tiene un extremo provisto $n\ge2$ (mira la secuencia de bolas de radio entero y centradas en algún punto), mientras que $\mathbb{R}$ tiene dos extremos. El espacio de los extremos de un árbol regular es un conjunto de Cantor.

Se dice que un extremo tiene género si las componentes conectadas que lo definen tienen todas género (nunca se reducen a ánulos). Se dice que un extremo es desorientable si las componentes conectadas que lo definen son todas desorientables.

Ahora, considera la superficie $S^n$ ( $n=1,2$ o $3$ definida como el límite de una vecindad tubular de la incrustación habitual del gráfico de Cayley habitual de $\mathbb{Z}^n$ en $\mathbb{R}^3$ (para $n=1$ se obtiene un cilindro; para $n=2$ algún tipo de rejilla; para $n=3$ a veces se le llama gimnasio de la selva). $S^2$ y $S^3$ son las superficies descritas por Richard Kent en su tercer párrafo. Estas dos superficies tienen exactamente un extremo orientable pero con género. Por lo tanto, todas son homeomórficas. Este es un resultado bastante increíble en mi opinión. La presentación más sencilla de esta superficie se llama el monstruo del Lago Ness: se construye añadiendo a un plano una secuencia de asas colocadas en fila.

Answer 5

Esta respuesta complementar las respuestas de Henry y Algori. Creo, merece la pena de muerte, que una clasificación de abrir los colectores no se sigue una clasificación de los colectores compactos. Abierto las superficies estaban clasificados, pero abierta 3-pliegues no son, su clasificación no se sigue la clasificación de las compactas, al menos en el momento actual. En particular, {\it primer descomposición}, o Kneser del teorema (http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_decomposition_(3-colector)) no se cumple para los no-compacto de 3 manfiolds. Hay un constructiion debido a Scott (http://plms.oxfordjournals.org/cgi/pdf_extract/s3-34/2/303) de un ejemplo de un simple conectado 3 veces que no puede ser conectado suma de finito o infinito número de prime colectores.

Abierta 3-colector son activamente studdied ahora. Permítanme darles dos citas que confirman, además, que nuestro knowlage de compacto de 3 manfiolds no es suficiente para understending de la no-compacto.

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1) flujo de Ricci en abrir las 3-variedades y positivo escalar de curvatura. Laurent Bessi'eres, Gerard Besson y Sylvain Maillot. http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1001/1001.1458v1.pdf

Gracias a G. Perelman de la prueba de W. Thurston del Geometrisation Conjetura, la estructura topológica de compacto de 3-variedades ahora bien entendido en términos de la canónica geométrica de descomposición. El primer paso de esta descomposición, que se remonta a H. Kneser, consiste en dividir un colector conectado suma de primer 3-variedades, es decir, las 3-variedades que no son triviales conectado sumas a sí mismos. Se ha conocido desde los primeros trabajos de J. H. C. Whitehead [Whi35] que el topología de abrir las 3-variedades es mucho más complicado. Directamente relevantes para el presente trabajo son contraejemplos de P. Scott [ST89] y la tercera autor [Mai08] que muestran que Kneser del teorema de no generalizar a abrir colectores, incluso si uno permite infinito conectado sumas.

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El refference para el artículo de Maillot es el followning.

2) Algunos abiertos las 3-variedades y 3-orbifolds sin localmente finito descomposición canónica. http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0802/0802.1438v2.pdf

Aquí está la cita

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Gran parte de la teoría de compacto de 3-variedades se basa en la descomposición en canónica de piezas, en particular la Kneser-Milnor primer descomposición [12, 16], y los Jaco-Shalen-Johannson característica de dividir [10, 11]. Estos han dado lugar a importantes desarrollos en teoría de grupos [22, 7, 9, 24], y la forma el fondo de W. Thurston de la conjetura de geometrización, que recientemente ha sido probado por G. Perelman [19, 20, 21].

Para abrir las 3-variedades, por el contrario, no hay ni un conjetural descripción general de una 3-variedad en términos de geométrica. Tal descripción sería más útil que noncompact hiperbólico 3-variedades son ahora cada vez más se entiende bien, en particular gracias a las recientes pruebas de la final de la laminación de la conjetura [17, 4] y el tameness conjetura [5, 1]. El objetivo de este trabajo es presentar una serie de ejemplos que muestran que ingenuos generalizaciones para abrir las 3-variedades de la descomposición canónica teoremas de compacto de 3 colector de la teoría son falsas.