¿Es toda variedad topológica (contable en segundo lugar) completamente metrizable?
Se sabe que cada suave poseen una métrica riemanniana completa, por lo que en particular son completamente metrizables, sin embargo existen variedades no alisables.
Respuestas
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Sí.
La prueba que conozco es un poco indirecta. Sea $M$ sea tu colector. Es localmente compacta y Hausdorff, por lo que tiene una compactificación de un punto $M^*$ que es Hausdorff compacto. Ahora $M^*$ es de nuevo segundo contable (véase La compactación en un punto es contable en segundo lugar ), y los espacios de Hausdorff (localmente) compactos son regulares, así que por el teorema de metrización de Urysohn, $M^*$ es metrizable con alguna métrica $d^*$ . Desde $M^*$ es compacto, entonces $(M^*, d^*)$ es, por supuesto, completa. Ahora $M$ es un subconjunto abierto de $M^*$ y todos los abiertos (o incluso $G_\delta$ ) de un espacio métrico completo es completamente metrizable (con una métrica diferente). Véase el teorema 1.2 de esta nota para obtener una prueba; también está en la obra de Kechris Teoría descriptiva clásica de conjuntos y probablemente muchos otros textos estándar.
De hecho, si no me equivoco, acabamos de demostrar que cualquier segundo espacio contable Hausdorff localmente compacto es completamente metrizable.
Si existe una prueba más directa, ¡me interesaría verla!
CSX321
Puntos
44
Expresar M como unión de conjuntos abiertos {U_n} con clos(U_n) compacto y contenido dentro de U_{n+1} (siempre posible si M no es a su vez compacto). Poner una métrica Riemanniana g_0 en M. Revisar g_0 a g_1 como sigue: g_1 = f_1 g_0 para f_1 una función escalar positiva que obedece (a) f_1 = 1 en U_1 y (b) en U_3 - U_2, f_1 < 1/sqrt{d_0(U_2, M - U_3)} (donde d_0 = función de distancia generada por g_0). Nótese que para d_1 la función distancia generada por g_1, d_1(U_2, M - U_3) es al menos 1; en particular, cualquier curva que empiece en U_1 y escape al infinito debe tener al menos longitud 1, porque cruza desde la frontera de U_2 a la frontera de U_3, una distancia de al menos 1
Ahora continuamos inductivamente: tratando U_3, U_4, y U_5 como acabamos de hacer con U_1, U_2, y U_3 y creando g_2 = f_2 g_1, con cualquier curva desde U_1 escapando al infinito que tenga longitud al menos 2, ya que cruza tanto desde la frontera de U_2 a U_3 (misma métrica que g_1) como desde la frontera de U_4 a la frontera de U_5 (de nuevo con distancia al menos 1); y así sucesivamente. Terminamos con una métrica bien definida g_infty = lim g_n. Cualquier curva que escape al infinito debe cruzar un número infinito de bandas de anchura al menos 1 en g_infty, por lo que debe tener longitud infinita en g_infty. Esto significa que (M, g_infty) es completa.
