Solución de una ecuación integral

Question

Consideremos una ecuación integral simple de Wiener-Hopf de primer tipo con función desconocida $\phi(x)$ para $x\geq 0$ :

$$f(x)=\int_0^\infty \phi(y)\min\{x,y\}\,\mathrm{d}y$$

donde $f(x)=x-a$ y $a \geq 0$ .

Aunque surgió de un problema físico bien planteado, sugiero que no hay soluciones de ninguna de estas ecuaciones en $\phi(x)$ . ¿O no?

Nota: ¿Habría alguna solución si elegimos $f(x)= \begin{cases} 0 &;x<a\\ x-a &;x\geq a \end{cases} $ ¿en su lugar?

Answer 1

$\newcommand{\angles}[1]{\left\langle\,{#1}\,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,\mathrm{Li}_{#1}} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

Asumiré que la ecuación es $\ds{\,\mathrm{f}\pars{x} = \int_{0}^{\infty}\phi\pars{y}\min\braces{x,y}\,\dd y}$ .

\begin{align} \,\mathrm{f}\pars{x} & = \int_{0}^{x}\phi\pars{y}y\,\dd y + x\int_{x}^{\infty}\phi\pars{y}\,\dd y \\[3mm] \imp\ \,\mathrm{f}'\pars{x} & = \phi\pars{x}x + \int_{x}^{\infty}\phi\pars{y}\,\dd y - x\phi\pars{x} \\[3mm] \imp\ \,\mathrm{f}''\pars{x} & = -\phi\pars{x}\quad\imp\quad\color{#f00}{\phi\pars{x}} = \color{#f00}{-\,\mathrm{f}''\pars{x} = -\delta\pars{x - a}} \end{align}

---

$$\mbox{because}\ \mathrm{f}\pars{x} = \Theta\pars{x - a}\pars{x - a}\ \imp\ \mathrm{f}'\pars{x} = \Theta\pars{x - a}\ \imp\ \mathrm{f}''\pars{x} = \delta\pars{x - a} $$

¿Comprobando? $$ \int_{0}^{\infty}\bracks{-\delta\pars{y - a}}\min\braces{x,y}\,\dd y = -\min\pars{x,a} = \left\lbrace\begin{array}{rcl} \ds{-x} & \mbox{if} & \ds{x < a} \\ \ds{-a} & \mbox{if} & \ds{x > a} \end{array}\right. $$

Como la solución se expresa en términos de la segunda derivada $\,\mathrm{f}''\pars{x}$ , sigue siendo una solución de $\ds{\,\mathrm{f}\pars{x} + cx + d}$ para algunas constantes arbitrarias $\ds{c}$ y $\ds{d}$ . Significa que la "comprobación anterior" se convierte en $$ \left\lbrace\begin{array}{rcl} \ds{-x + cx + d} & \mbox{if} & \ds{x < a} \\ \ds{-a + cx + d} & \mbox{if} & \ds{x > a} \end{array}\right. $$ El original $\ds{\,\mathrm{f}\pars{x}}$ se recupera con $\color{#f00}{\ds{c = 1}}$ y $\color{#f00}{\ds{d = 0}}$ .

En general, significa que debe haber condiciones adicionales además de la ecuación integral.