Los operadores de escalera suelen construirse para formar un Álgebra de Lie (queremos que tengan relaciones de conmutación específicas). La base matemática es la teoría de pesos.
Lo importante de las álgebras de Lie es que son un espacio vectorial y sus elementos, que se llaman generadores Obedece esta regla de conmutación: $$[X_i,X_j]=f_{ijk}X_k$$ En los casos en que hemos utilizado el convención de suma . $f_{ijk}$ son sólo constantes, así que las llamamos constantes estructurales .
En nuestro caso, los generadores serán simplemente matrices.
En general, tendremos n número de generadores, que formarán un álgebra. Habrá m generadores simultáneamente diaganolizables (es decir, que conmutan entre sí). Estos generadores se llaman Generadores de Cartan y forman la subálgebra de Cartan. Las denotaremos por $H^i$ y los generadores no Cartan por $E^i$ .
Cada vector propio asociado a los generadores de Cartan se denomina vector de pesos , $|t_i\rangle$ . Sus componentes $t_i$ se denominan pesos. Los vectores de pesos corresponderán a estados físicos.
Un generador de Cartan actuará sobre un vector peso como: $$H^i|t_j\rangle =t^i_j|t_j\rangle$$
En este punto debería explicar las raíces, pero nos las saltaremos.
Ahora es cuando entran en juego los operadores de escaleras. Cuando un generador no Cartan actúa sobre un estado (vector peso) el nuevo valor propio se desplazará en $\pm e_j^i+t_k^i$ . Cuando se eleva el valor denotamos el generador por $E^j$ y cuando se baja $E^{-j}$ . Consideramos que son conjugados hermitianos entre sí.
Entonces, se puede demostrar que $[H^i, E^j]=e^i_jE^j$ y $[E^j,E^{-j}]=e^k_jH^k$ . Estas relaciones de conmutación son muy importantes y se utilizarán en el caso del momento angular y del oscilador armónico.
Así que hemos terminado, sólo tenemos que identificar nuestros generadores Cartan y no Cartan. Entonces, los generadores no Cartan nos moverá alrededor de los estados posibles.
Momento angular
Tenemos que $J^1,J^2,J^3$ son los generadores de SU(2). Elegimos uno de estos generadores para que sea diagonal, típicamente es $J_3$ (es el generador de Cartan). Entonces, cada estado $|j,m\rangle$ está etiquetado por los valores propios de $J_3$ que identificaremos como el momento angular $m$ y el momento angular máximo es $j$ .
Desde $J^1,J^2$ no satisfacen $[J^3,J^i]=\alpha J^i$ ni $[J^i,J^{-i}]=\alpha J^3$ tenemos que tomar combinaciones lineales de ellos. Podríamos demostrar, resolviendo un sistema lineal, que esta combinación es: $$N^\pm=\frac{1}{\sqrt{2}}(J_1\mp J_2)$$
Estos operadores cambiarán el valor del momento angular. Podemos comprobar que satisfacen las reglas de conmutación. $$[J^3,J^\pm]=\pm J^\pm$$ $$[J^+,J^-]=J^3$$
Oscilador armónico
(Estoy un poco confundido con las álgebras SU(1,1) y esas cosas, así que alguien más debería explicarlo)
En este caso los generadores de Cartan son dos, la identidad $\mathbb{I}$ y el Hamiltoniano $H$ (Creo que el hamiltoniano podría intercambiarse por el operador numérico $N=a^\dagger a$ ). También sabemos por QM que $[x,p]=i$ ( $h=1$ ). Como en el caso anterior, tomamos combinaciones lineales para formar los operadores escalera. Obtenemos: $$[H,\hat{a}]=-\hat{a}$$ $$[H,\hat{a}^\dagger]=\hat{a}^\dagger$$ $$[\hat{a},\hat{a}^\dagger]=\mathbb{I}$$ $$[\hat{a},\hat{a}]=0$$ $$[\hat{a}^\dagger,\hat{a}^\dagger]=0$$
El oscilador armónico puede extenderse en QFT para estudiar bosones y fermiones.
Si quieres más información sobre las matemáticas de los operadores de escalera en el momento angular deberías echar un vistazo al libro de Georgi. Para el oscilador armónico no hay tanta información, me gustan estas notas: http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/fermiones-viejos-clifford.pdf .
