Pendientes de las diagonales perpendiculares de un cuadrilátero y de sus lados

Question

Sea ABCD un cuadrilátero, sea E la intersección de las rectas AB y CD, y sea F la intersección de las rectas BC y AD. Si las rectas AC y BD de este cuadrilátero son perpendiculares y las pendientes de las ecuaciones de sus lados AB, BC, CD, DA son, respectivamente, $-1, 2, 3, 4$ ¿Cuál es la pendiente de la ecuación de la recta EF?

Además de utilizar la relación obvia entre las pendientes de las rectas AC e BD, ¿qué haces?

Answer 1

El cuadrilátero parece cóncavo. Sin pérdida de generalidad, supongamos que $D$ se encuentra en el origen del $xy$ -sistema de coordenadas, por lo tanto, $D=(0,0)$ .

Desde $m_{AD}=4$ y $m_{CD}=3$ a continuación, las líneas $AD$ y $CD$ debe tener las siguientes ecuaciones: $$AD\implies f(x):=4x\\ CD\implies g(x):=3x$$ Así, sabemos que $A=(a,f(a))$ y $C=(c,g(c))$ para $a,c \in \mathbb R$ . Dado que las diagonales de $ABCD$ son perpendiculares, entonces sabemos que:

$$m_{AC}=-\frac1{m_{DB}}$$

Puesto que ya conocemos los puntos $A,C$ entonces $m_{AC}$ es: $$m_{AC}=\frac{g(c)-f(a)}{c-a}\implies m_{DB}=-\frac{c-a}{g(c)-f(a)}\\ DB\implies h(x):=-\frac{c-a}{g(c)-f(a)}x\\ \implies B=(b,h(b))\,\,\,\,\forall b \in \mathbb R$$

Ahora, tenemos que resolver las siguientes ecuaciones para $a,c$ en términos de $b$ para satisfacer los requisitos de pendiente: $$m_{AB}=-1=\frac{h(b)-f(a)}{b-a}\\ m_{BC}=2=\frac{h(b)-g(c)}{b-c}$$ Y obtenemos una de las soluciones como: $$\left\{a\to \frac{1}{55} \left(\sqrt{346} b+26 b\right),c\to \frac{1}{11} \left(\sqrt{346} b-7 b\right)\right\}\tag{1}$$

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Ahora, podemos escribir las siguientes ecuaciones de los lados del cuadrilátero: $$AB\implies y=\frac{f\left(a\right)-h\left(b\right)}{a-b}\left(x-b\right)+h\left(b\right)\\ BC\implies y=\frac{g\left(c\right)-h\left(b\right)}{c-b}\left(x-b\right)+h\left(b\right)\\ CD\implies y=3x\\ AD\implies y=4x$$

Resolviendo la intersección de $AB$ y $CD$ para obtener $E$ y $BC$ y $AD$ para obtener $F$ encontramos que $F$ y $E$ son: $$E=\left(\frac{a b (17 a-13 c)}{4 a^2+13 a b-3 a c-10 b c},\frac{3 a b (17 a-13 c)}{4 a^2+13 a b-3 a c-10 b c}\right)\\ F=\left(\frac{b c (13 a-10 c)}{17 a b-4 a c-13 b c+3 c^2},\frac{4 b c (13 a-10 c)}{17 a b-4 a c-13 b c+3 c^2}\right)\tag{2}$$

Ahora, utilizando $(1)$ anterior y sustituyéndolo en $(2)$ obtenemos definiciones más sencillas para $E,F$ a saber (de nuevo, esto debería ser para todos $b\in\mathbb R$ ): $$E=\left(\frac{1}{44} \left(\sqrt{346}+26\right) b,\frac{3}{44} \left(\sqrt{346}+26\right) b\right)\\ F=\left(\frac{1}{22} \left(\sqrt{346}-7\right) b,\frac{2}{11} \left(\sqrt{346}-7\right) b\right)$$

Y así, obtenemos la pendiente de $EF$ que debe ser invariante respecto a $b$ como: $$m_{EF}=\frac{\frac{3}{44} \left(\left(\sqrt{346}+26\right) b\right)-\frac{4}{22} \left(\left(\sqrt{346}-7\right) b\right)}{\frac{1}{44} \left(\sqrt{346}+26\right) b-\frac{1}{22} \left(\sqrt{346}-7\right) b}$$

Lo que se simplifica a: $$\bbox[10px, border:2px solid red]{\therefore m_{EF}=\frac{1}{19} \left(55-\sqrt{346}\right)}\tag3$$

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Puede consultar esto Aplicación de Desmos . Puede comprobar que se cumplen todos los requisitos de pendiente y $(3)$ debería darte la respuesta correcta.

Answer 2

Hay una forma más sencilla de resolver este tipo de problemas:

Primero usa el siguiente teorema olvidado de la geometría analítica:

Si las pendientes de las ecuaciones de los lados AB, BC, CD, DA, de un cuadrilátero ABCD son respectivamente $m_1, m_2, m_3, m_4$ y las diagonales AC y BD (o las líneas prolongadas de ellas) son perpendiculares, entonces la ecuación en $p$

$$(m_1m_3-m_2m_4)p^2 -((m_2+m_4)(1+m_1m_3)-(m_1+m_3)(1+m_2m_4))p -(m_1m_3-m_2m_4) =0$$

es satisfecha por ambas pendientes de las diagonales (en caso de que existan ambas) o por la única existente.

Aplicando este teorema, obtenemos la ecuación de segundo grado

$$11p^2-30p-11=0$$

Resolviéndolo, obtenemos las soluciones $${15+\sqrt {346} \over 11}, {15-\sqrt {346} \over 11}$$

para las pendientes de las diagonales AC y BD.

Después utilizamos una fórmula clara y sencilla para calcular la pendiente de EF (la misma notación utilizada en el teorema anterior):

$$m_{EF}={m_2m_3(m_1+m_4-m_{BD})-m_1m_4(m_2+m_3-m_{BD})\over m_2m_3-m_1m_4+(m_1+m_4-m_2-m_3)m_{BD}}$$

Y por fin llegamos a las soluciones:

$$m_{EF}={55+\sqrt{346}\over 19}$$

o $$m_{EF}={55-\sqrt{346}\over 19}$$