Definiciones equivalentes de Sylow p-subgrupo

Question

A Sylow $p$ -subgrupo $P$ de $G$ se define1 como un $p$ -subgrupo de $G$ es decir $P$ es un $p$ -subgrupo de $G$ tal que existe un $p$ -subgrupo $P'$ de $G$ conteniendo adecuadamente $P$

Pero vi otra definición2 de Sylow $p$ -subgrupo: $P$ es un $p$ -subgrupo de $G$ tal que $[G:P]$ no es divisible por $p$ .

Estoy intentando demostrar la equivalencia mediante el Primer Teorema de Sylow, pero me he atascado.

Mi intento:

Supongamos (1). Sea $|P|=p^k$ . Por Lagrange, tenemos $|G|=mp^k$ para algunos $m$ y $[G:P]=m$ .

Supongamos que $p|[G:P]$ entonces existe $1\le k'$ tal que $[G:P]=p^{k'}m'$ para algunos $m'$ con $gcd(p,m')=1$ . Por lo tanto $|G|=m'p^{k+k'}$ . Desde $k+k'>k,$ por el primer Teorema de Sylow, existe un $p$ -subgrupo $P'$ con $|P'|=P^{k+1}$

Quiero reclamar $P'$ es un $p$ -subgrupo que contiene correctamente $P$ . Pero no tengo ni idea de cómo hacerlo, o puede que esté en un camino totalmente equivocado.

Agradeceremos cualquier sugerencia.

Respuesta

Supongamos que $p|[G:P]$ entonces existe $1\le k'$ tal que $[G:P]=p^{k'}m'$ para algunos $m'$ con $gcd(p,m')=1$ . Por lo tanto $|G|=m'p^{k+k'}$ . Desde $k+k'>k,$ por el primer Teorema de Sylow, existe un $p$ -subgrupo $P'$ con $|P'|=P^{k+1}$ . Por el segundo teorema de Sylow, tenemos $P<aP'a^{-1}$ para algunos $a\in G$ lo que implica $p^k=|P|\le |aP'a^{-1}|=|P'|=p^{k+1}$ . Contradicción.

Answer 1

Yo iría de otra manera:

Puedes utilizar la "hipótesis máxima". Tome la primera definición que ha dado. Por lo tanto $p^k$ es la potencia máxima del primo $p$ dividiendo el orden de $G$ . Entonces por Lagrange sabes que $|G|=mp^k$ y por supuesto $m$ no es divisible por $p$ ya que de lo contrario, por el Teorema de Sylow, habría un subgrupo de orden $p^{k+1}$ lo que viola la hipótesis de maximalidad. En cambio, si se toma la segunda definición, si existe un subgrupo de orden $p^k$ y $p$ no divide $m$ por la de Lagrange es automáticamente maximal y por lo tanto las dos definiciones coinciden.