Exponencial del operador autoadjunto positivo

Question

En un artículo de física que estoy leyendo actualmente, parece que se utiliza la siguiente afirmación: Sea $A$ sea un operador positivo autoadjunto (no necesariamente acotado) en $L^2(a,b)$ con $C_0^{\infty}(a,b)\subseteq \mathrm{dom}(A)$ . Entonces $\Phi(t)=\cos(A^{1/2}t)$ está bien definida para $t\in\mathbb{R}$ .

¿Es cierta esta afirmación? Y en caso afirmativo, ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Deberías consultar el teorema espectral para operadores autoadjuntos no limitados. Véase Michael E. Taylor's Partial Differential Equations Vol II página 97, ecuación (1.30) y Teorema 1.7. Se trata del cálculo funcional de Borel mencionado anteriormente. Una vez hechas la raíz cuadrada y la exponencial, se puede llegar al coseno. Véase también la discusión en el segundo párrafo de la página 98, que da la acotación del operador.