densidad de raíces de una familia de polinomios: $(1-x^2)^{v+n}$

Question

Mi investigación me ha llevado a la siguiente, muy problema general.

Dado un fijo, pero arbitrario, número natural, $\displaystyle v$, considere la siguiente familia de polinomios: El $\displaystyle (n-1)^{th}$ derivado de la

$$\displaystyle (1-x^2)^{v+n} \ \ \forall n \in \mathbb{N} $$

Me gustaría demostrar (o refutar) que las raíces de este a toda la familia de polinomios forma una densa subconjunto del intervalo de $\displaystyle [0,1]$ para cualquier valor de $\displaystyle v$ (no, no estoy interesado en las raíces fuera del intervalo de $\displaystyle [0,1]$).

En otras palabras, dado cualquier subinterval, $\displaystyle [a,b]$,no importa lo pequeño que sea, al menos uno de estos polinomios tiene al menos una raíz en el intervalo de $\displaystyle [a,b]$ (para cualquier valor fijo de $\displaystyle v$).

Me doy cuenta de que mi pregunta es muy general, y estará feliz de aceptar cualquiera de las soluciones parciales.

Answer 1

Primera nota de que esta familia de polinomios es ortogonal, en el intervalo de $[-1,1]$, con el factor de ponderación $(1-x^2)^{-(v+1)}$. Esto no es una sorpresa ya que la definición es muy similar a la de la tradicional Polinomios de Legendre, que son ortogonales. A continuación, use los siguientes profunda resultado que involucran polinomios ortogonales:

Si $\{p_n\}$ es una familia de polinomios ortogonales con raíces en $[-1,1]$ $N(a,b,n)$ representa el número de raíces de $p_n$ [ $\cos(b),\cos(a)$ ]

$$\lim_{n\to \infty}\frac1{n} N(a,b,n)=\frac{b-a}{\pi}$$

Por lo tanto para cualquier pequeña subinterval [$\cos(b),\cos(a)$], existe $n$ suficientemente grande tal que $N(a,b,n)>1$ lo que implica que las raíces de estos polinomios forman un subconjunto denso de $[-1,1]$.