Buen límite superior para $f(n)$

Question

Es una pregunta elemental. Estoy tratando de entender la función (un discreto), $$f(n) = \left(\displaystyle \dfrac{\sum_{k=0}^n \frac{a^k}{k!}}{\sum_{k=0}^{n-1}\frac{a^k}{k!}}\right)^n\,$$ donde $a>0$ es una constante.

He utilizado WolframAlpha para comprobar el comportamiento de una gráfica de una función similar a esta y resulta que es una curva de campana (como la Distribución Binomial), lo que significa que no es ni monotónicamente creciente ni decreciente, por lo que debe haber un máximo local, pero no creo que haya una forma adecuada de averiguar el valor máximo exacto. De todos modos, estoy interesado en un buen límite superior de $f(n)$ .

Además, para un $a>0$ Me di cuenta de que $f(n)\to 1$ como $n\to \infty.$ Se puede demostrar que $f(n)^{1/n} \to 1$ como $n\to \infty$ pero no estoy seguro de cómo mostrar que para $f(n)$ .

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Sea $g(n):=\sum_{k=0}^n\frac{a^k}{k!}$ para que $g(n)=g(n-1)+\frac{a^n}{n!}$ y $\lim_{n\to\infty}g(n)=e^a$ . Entonces $$f(n)=\left(\frac{g(n)}{g(n-1)}\right)^n =\left(\frac{g(n-1)+\tfrac{a^n}{n!}}{g(n-1)}\right)^n =\left(1+\frac{a^n}{n!g(n-1)}\right)^n.$$ Esto demuestra que para $h(n)=\frac{a^n}{(n-1)!g(n-1)}$ tenemos $$\lim_{n\to\infty}f(n) =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{h(n)}{n}\right)^n =\lim_{n\to\infty}e^{h(n)}=1.$$ porque $\lim_{n\to\infty}h(n)=0$ .