Límite de plazo con raíces

Question

¿Cómo puedo demostrar lo siguiente?

$$\lim_{k\rightarrow \infty} \frac{2}{3 (\sqrt{k+1} - \sqrt{k-1})(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})} = \frac{1}{3}$$

Answer 1

Multiplicamos por el conjugado de $\sqrt{k+1} - \sqrt{k-1}$ y utilizamos el límite asintótico $$\sqrt{k+a}\sim_\infty \sqrt k$$ encontramos

$$\lim_{k\rightarrow \infty} \frac{2}{3 (\sqrt{k+1} - \sqrt{k-1})(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})} =\lim_{k\rightarrow \infty}\frac23\frac{2\sqrt k}{4\sqrt k}=\frac13$$