¿El límite de dos variables no existe?

Question

Tengo este límite en mi examen parcial: $$\lim_{(x,y)\to 0,0} \frac{(x^2+2x-4y^2+4y)} {(x+2y)} $$ y si tuviera que conectar $y=-\frac{x} {2}$ me da que el límite es igual a $\frac{0} {0}$ frente a la respuesta típica de cualquier otra vía de $2$ . ¿Es mi razonamiento erróneo, o simplemente se puede simplificar y no preocuparse por los diferentes caminos?

Answer 1

$$\lim_{(x,y)\to 0,0} \frac{(x^2+2x-4y^2+4y)} {(x+2y)} $$ $$=\lim_{(x,y)\to 0,0} \bigg(\frac{(x^2-4y^2)} {(x+2y)}+\frac{2x+4y}{x+2y} \bigg) $$ $$=\lim_{(x,y)\to 0,0} \bigg(\frac{(x-2y)(x+2y)} {(x+2y)}+\frac{2(x+2y)}{x+2y} \bigg) $$ $$=\lim_{(x,y)\to 0,0} \big((x-2y)+2 \big) $$ $$=\lim_{(x,y)\to 0,0} \big(x-2y+2 \big)=2 $$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$x^2+2x-4y^2+4y = (x+2-2y)(x+2y)$$ así que $$\frac{x^2+2x-4y^2+4y}{x+2y} = \frac{(x+2-2y)(x+2y)}{(x+2y)} \\ = x+2-2y$$

Answer 3

Pista: $x^2 + 2x - 4y^2 + 4y = x^2-4y^2 + 2(x+2y) = (x+2y)(x-2y) + 2(x+2y) = (x+2y)(x-2y+2)$