Un tipo particular de ideal

Question

Un subconjunto no vacío $A$ de un anillo $R$ se denomina $\textit{adeal}$ de $R$ si

$(i)$ $a,b\in A$ implica $a+b\in A$ ;

$(ii)$ $r\in R$ y $a\in A$ implican tanto $ar\in A$ y $ra\in A$ .

Demostrar que

$(a)$ Un adeal $A$ de $R$ es un ideal de $R$ si para cada $a\in A$ existe un número entero $n\ne 0$ dependiendo de $a$ tal que $na\in aR+Ra$ . (Esta condición se cumple, en particular, si $R$ ha una identidad multiplicativa). (¿por qué depende de a?)

$(b)$ En $R$ es un anillo conmutativo, la condición en parte $(a)$ es una condición necesaria y suficiente para que un adeal sea un ideal. [ $Hint$ :Para cualquier $a\in R$ el conjunto $A=\{na\;|\;n\in\mathbb{Z_+}\}+aR$ es un ade $R$ por lo tanto, un ideal de $R$ ].

Me resulta difícil resolver este ejercicio, aunque he reflexionado sobre ello, ¿alguien podría darme alguna sugerencia?

Gracias.

Answer 1

Para empezar, es útil escribir la definición de ideal, tal y como se define en este libro:

Un subconjunto no vacío $A$ de un anillo $R$ es un $\textit{ideal}$ de $R$ si

$(i)$ $a,b\in A$ implica $a-b\in A$ ;

$(ii)$ $r\in R$ y $a\in A$ implican tanto $ar\in A$ y $ra\in A$ .

Si $A$ es un adefesio, entonces demostrar que $A$ es de hecho un ideal, entonces basta con demostrar que si $a \in A$ entonces $-a \in A$ . De hecho, basta con demostrar que si $a \in A$ entonces existe $m \geq 1$ tal que $-ma \in A$ : si $m = 1$ hemos terminado, y si $m > 1$ entonces $(m-1)a + -ma = -a \in A$ .

Así que $a \in A$ y supongamos que se cumple la condición de la parte (a) de la pregunta, por lo que existe $n > 0 \in \Bbb N$ y $r, s \in R$ tal que $na = ra + as$ . Entonces $-na = -ra + a(-s) \in A$ Así que hemos terminado.

Cabe señalar que $na$ por definición, es igual a $a + a + \cdots + a$ donde hay $n$ términos en la suma; $n$ no es un elemento de $R$ si $R$ no tiene identidad multiplicativa. En la demostración anterior, debes comprobar cada afirmación utilizando la definición de $na$ ya que hay varias cosas que son menos obvias de lo que parecen.

En cuanto a la parte (b), no es cierta tal como está planteada. Considere $R = \Bbb Z$ con la multiplicación trivial $ab = 0$ para todos $a, b$ (que obviamente es conmutativa), por lo que para cualquier $a$ , $aR + Ra = 0$ por lo que la condición $na \in aR + Ra$ nunca puede sostenerse a menos que $na = 0$ para algunos $a$ que requiere $a = 0$ . Pero el conjunto de $R$ es un ade $R$ que también es un ideal de $R$ que, si (b) fuera cierta, implicaría que la condición se cumple para todos los elementos de $R$ .