¿La imagen continua de un espacio localmente conexo es localmente conexa?

Question

Ya sabemos que las imágenes continuas de los espacios conectados por caminos son conectadas por caminos. Estaba pensando si el mismo resultado es cierto cuando sustituimos camino - conectado con localmente camino - connceted .

Creo que lo he demostrado por una continua y abra mapa.

¿Es necesario el requisito de apertura o basta con la continuidad?

Más concretamente, esto es lo que he demostrado: supongamos $f:X \to Y$ es un mapa continuo y abierto. Sea $a=f(x) \in f(X)$ y que $J$ sea una base de vecindad para $x$ de espacios conectados por trayectorias. Entonces $J'=\{f(A): A \in J\}$ es una base de vecindad para $a$ de espacios conectados por trayectorias. La apertura de $f$ me ayudó a decir que $A$ barrio de $x$ implica $f(A)$ barrio de $a$ . La continuidad de $f$ implica que $f(A)$ está conectado siempre que $A$ es un camino conectado. Por último, si $U$ es una vecindad de $a$ entonces $f^{-1}(U)$ es una vecindad de $x$ y luego está $A\in J: A\subseteq f^{-1}(U)$ entonces $a \in f(A) \subseteq U$ .

Answer 1

Creo que la apertura es necesaria. Por ejemplo, un espacio totalmente desconectado $S$ que no es discreto, digamos que no tiene puntos abiertos. En aras de la concreción, se puede tomar $S= 2^A$ para un conjunto infinito $A$ con la topología discreta, y $S$ tiene la topología del producto.

Sea $I$ denotan el intervalo estándar $[0,1]$ .

Sea $Y= S\times I /( (s,1)\sim (t,1), s,t\in S)$ con la topología cociente de la topología producto y llamamos $\infty$ la imagen del $(t,1)$ en el cociente.

Claramente $Y$ está conectado por un camino, ya que cada punto está conectado a $\infty$ .

También es fácil comprobar que podemos identificar $S$ con la imagen de $S\times \{0\}$ en $Y$ .

Ahora su espacio $Y$ no está conectada localmente por un camino: tomemos $s\in S$ y un barrio abierto $U$ de $s\in S$ . Entonces contiene algunos $V\times [0,\epsilon)$ para algún barrio $V$ de $s\in S$ .

Pero $S$ no tiene ningún punto abierto, por lo que hay $t\in V\setminus\{s\}$ y cualquier ruta desde $s$ a $t$ en $V\times [0,\epsilon)$ tiene una proyección continua sobre $S\times \{0\}$ lo cual es absurdo porque $S$ está totalmente desconectado.

Así que nuestro espacio $Y$ es una buena candidata, porque está conectada por trayectorias pero no localmente.

Ahora dejemos que $X$ tienen el mismo conjunto subyacente que $Y$ pero esta vez ponemos la topología discreta en $S$ (y luego la topología del producto en $S\times I$ y luego el cociente en $X$ ). Entonces $X$ está conectado a un camino (por la misma razón, cualquier punto está conectado a $\infty$ ), y localmente conectado a la ruta : si se toma $(s,t)\in X$ entonces $\{s\}\times ]t-\epsilon, t+\epsilon[$ es una vecindad abierta de $(s,t)$ y son la base de los barrios en $(s,t)$ si $t\in (0,1)$ y te dejaré ver cómo funciona esto para $t=0, 1$ (para $t=0$ es lo mismo, y para $1$ es un poco más sutil, pero en realidad no tanto)

Pero ahora existe una biyección continua $X\to Y$ es simplemente la identidad de los conjuntos subyacentes. Su continuidad viene del hecho de que cualquier mapa de un espacio discreto es continuo, y de varias propiedades universales (del producto, y de la topología del cociente).

Está claro que no es abierto, pero esto demuestra que la nueva afirmación es falsa (aunque tu prueba en el caso abierto está bien)