¿Cómo cambia el parámetro de Hubble con la edad del universo?

Question

¿Cómo es que el Parámetro de Hubble cambiar con la edad del universo?

Esta pregunta se publicó recientemente, y casi había terminado de escribir una respuesta cuando la pregunta fue eliminada. Como es una pena desperdiciar el esfuerzo aquí está la respuesta de todos modos.

Quizás esta pueda ser una de las respuestas canónicas sugerido por Danu .

Answer 1

Para calcular la constante de Hubble necesitamos la a factor de escala , $a(t)$ . Esta es una medida de cuánto se ha expandido el universo. Tomamos el factor de escala como la unidad en el momento actual, por lo que si $a = 2$ eso significa que el universo se ha expandido el doble de lo que tiene ahora. Igualmente $a = 0.5$ significa que el universo se ha expandido sólo la mitad de lo que lo hace ahora. La constante de Hubble se calcula a partir del factor de escala utilizando ( ver la respuesta de Pulsar aquí para más detalles ):

$$H(a) = H_0\sqrt{\Omega_{R,0}\,a^{-4} + \Omega_{M,0}\,a^{-3} + \Omega_{K,0}\,a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}} \tag{1}$$

Calcular cómo $a$ varía con el tiempo se hace utilizando la ecuación (ver de nuevo la respuesta de Pulsar):

$$t(a) = \frac{1}{H_0}\int_0^a \frac{a'\,\text{d}a'}{\sqrt{\Omega_{R,0} + \Omega_{M,0}\,a' + \Omega_{K,0}\,a'^2 + \Omega_{\Lambda,0}\,a'^4}} \tag{2}$$

Hacer el cálculo no es tan difícil. Hay una Hoja de cálculo de Google con el cálculo aquí . Los valores de los distintos parámetros se han tomado de los datos de Planck:

$$\begin{align} H_0 &= 67.3\;\text{km}\,\text{s}^{-1}\text{Mpc}^{-1},\\ \Omega_{R,0} &= 9.24\times 10^{-5},\\ \Omega_{M,0} &= 0.315,\\ \Omega_{\Lambda,0} &= 0.685,\\ \Omega_{K,0} &= 0 \end{align}$$

Y los resultados son así:

Las unidades de tiempo son el tiempo actual de Hubble, $1/H_0 \approx 14.5$ mil millones de años, así que $1$ en el eje temporal corresponde a $14.5$ mil millones de años. Nótese que la línea no pasa por el punto $(1,1)$ porque el tiempo de Hubble actual es mayor que el edad del universo , $13.798$ mil millones de años. Esto se debe a que la expansión del universo se ha ido ralentizando con el tiempo desde el Big Bang.

En los primeros tiempos esperamos que el factor de escala esté dominado por la materia, y esto da un $t^{2/3}$ dependencia. En tiempos tardíos esperamos que el factor de escala esté dominado por la energía oscura y esto da una dependencia exponencial de $t$ . El gráfico lo muestra muy bien, ya que el cambio se produce en torno a la mitad del tiempo de Hubble.

Como tema secundario, es una pena no tener una fórmula analítica para $a(t)$ así que ajusté la siguiente función para obtener una fórmula aproximada razonablemente precisa:

$$a(t) \approx c_1 t^{2/3} + c_2 \left( e^{t/c_3} - 1\right)$$

Los valores de mejor ajuste para los coeficientes fueron:

$$\begin{align} c_1 &= 0.822 \\ c_2 &= 0.0623 \\ c_3 &= 0.645 \end{align}$$

Y el ajuste parece:

No encaja mal, aunque hay que ser cauteloso a la hora de extrapolar más allá $t = 2/H_0$ .

Y finalmente podemos calcular la constante de Hubble utilizando la ecuación (1). Obsérvese la escala logarítmica: la constante de Hubble llega al infinito como $t \rightarrow$ cero.:

Y el tiempo de Hubble es el justo $1/H_0$ :

Los gráficos muestran que la constante de Hubble definitivamente no es constante, aunque tiende a un valor constante en el tiempo tardío. Esto se debe a que la expansión en el tiempo tardío está dominada por la energía oscura y la expansión se vuelve exponencial con el tiempo. El aumento exponencial significa que hay un tiempo de duplicación constante (lo contrario del decaimiento exponencial donde hay una vida media constante) y el tiempo de duplicación es justo el tiempo de Hubble. Así que el tiempo de Hubble tiende a una constante.

Dejo aquí el post. Si alguien quiere detalles de cómo se obtienen las ecuaciones (1) y (2) que comente y puedo añadir otra respuesta con los detalles escabrosos.

Answer 2

Una versión más corta de la respuesta de John que sólo se centra en lo que ocurre con el parámetro de Hubble en el futuro.

La solución de la ecuación de Friedmann en un universo plano es $$H^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho + \frac{\Lambda c^2}{3},$$ donde $\rho$ es la densidad de la materia (incluida la materia oscura) y $\Lambda$ es la constante cosmológica.

Mientras el universo se expande, $\rho$ por supuesto disminuye a medida que $a(t)^{-3}$ pero $\Lambda$ se mantiene constante. Por lo tanto, el primer término del lado derecho no tiene importancia si $\Lambda$ es una constante cosmológica.

Por lo tanto, el parámetro de Hubble realmente disminuye de su valor actual $H_0$ y tiende asintóticamente hacia $H = \sqrt{\Lambda c^2/3}$ a medida que el tiempo tiende al infinito.

Una forma más conveniente de escribir lo anterior es expresar todas las densidades en términos de la densidad crítica. En este caso $$H^2 = H_0^2 (\Omega_m a^{-3} + \Omega_{\Lambda}),$$ donde $H_0$ es el parámetro de Hubble actual, $\Omega_m$ es la relación actual entre la densidad de la materia y la densidad crítica, que evoluciona como el cubo inverso del factor de escala $a$ y $\Omega_{\Lambda}$ es la densidad de energía constante (supuesta) del vacío expresada como una relación con la densidad crítica.

Así, como $a$ se hace grande, entonces el parámetro de Hubble tiende a $H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda}} \sim H_0 \sqrt{2/3}$ .