Unicidad del isomorfismo de identidad entre $F_1$ y $F_2$

Question

Demostrar que si $F_1$ y $F_2$ son módulos libres sobre el mismo conjunto $A$ existe un isomorfismo único entre $F_1$ y $F_2$ que es el mapa de identidad en $A$ .

Mi solución : Tomemos los mapas de inclusión $i_1:AF_1$ y $i_2:AF_2$ . Entonces por propiedad universal de los módulos tenemos $i_2=f_1*i_1$ y $i_1=f_2*i_2$ donde los mapas $f_1$ y $f_2$ son asignados por $f_1:F_1F_2$ y $f_2:F_2F_1$ y $*$ denota la composición de dos mapas. Entonces del argumento anterior obtenemos $f_2*f_1$ es un mapa de identidad en $A$ Así que $f_1$ es invertible y, por tanto, isomorfo. Pero ¿cómo puedo demostrar que $f_1$ es sólo la identidad.

Por favor, ayúdenme a resolver esto. No puedo seguir adelante.

Answer 1

Pista: tienes que utilizar la parte de unicidad de la propiedad universal. Sea $F$ sea el functor de módulo libre de Set a Mod, y $G$ el olvidadizo functor de Mod a Set; hasta ahora sólo has usado eso "para cada mapa $A \to GX$ hay un ascensor $FA \to X$ ". Es necesario utilizar "para cada mapa hay un único ascensor".