Simplificación de una suma de tres índices que sólo depende de las diferencias entre índices

Question

Tengo la siguiente suma:

\begin{equation} S = \sum_{i,j,k=1}^La^{|i-j|}a^{|i-k|}, \end{equation} donde, para ser claros, todos los índices van de $1$ a $L$ y $a<1$ es real. Tengo la sensación de que debo cambiar de alguna manera las variables a $x=i-j$ y $y=i-k$ pero no sé exactamente cómo hacerlo. He estado tratando de pensar en esto de una manera combinatoria (imaginando una línea de longitud $L$ y los dos términos de la suma son subsecciones de longitud $|i-j|$ y $|i-k|$ ), pero no llegué muy lejos.

La suma tiene una solución analítica según Mathematica.

Answer 1

Defina $P$ tomando $i$ sea una constante como sigue $$P=\sum\limits_{k=1}^La^{|i-k|}=\sum\limits_{k=1}^ia^{k-1}+\sum\limits_{k=1}^{L-i}a^{k}=\frac{a^i-1}{a-1}+\frac{a(a^{L-i}-1)}{a-1}=\frac{a^{i}+a^{L-i+1}-a-1}{a-1}$$

$$\sum\limits_{j,k=1}^La^{|i-j|}a^{|i-k|}=\left(\sum\limits_{j=1}^La^{|i-j|}\right) \left(\sum\limits_{k=1}^La^{|i-k|} \right) =P^2$$

$$S=\sum_{i,j,k=1}^La^{|i-j|}a^{|i-k|}= \sum_{i=1}^LP^2=\sum_{i=1}^L \left(\frac{a^{i}+a^{L-i+1}-a-1}{a-1} \right) ^2$$
$$S=\frac{2a^{2L+2}-2(L+2)a^{L+1}-8a^{L+2}+2(L-2)a^{L+3}+a^4L+2a^3 (L+2)+6a^2-2a(L-2)-L}{(a-1)^3(a+1)}$$
Hice la suma con ayuda de wolframio alfa y también comprobé el caso cuando $L=2, a=2$ .