Si $\frac{1}{4} - b^2 n \in \mathbb Z$ donde $b \in \mathbb Q$ y $n$ es libre de cuadrados, entonces $b \in \frac{1}{2}\mathbb Z$ .

Question

Si $\frac{1}{4} - b^2 n \in \mathbb Z$ donde $b \in \mathbb Q$ y $n$ es libre de cuadrados, entonces $b \in \frac{1}{2}\mathbb Z$ .

Debemos tener $b \in \mathbb Q - \mathbb Z$ de lo contrario $1-4b^2n \in 4\mathbb Z$ lo cual es imposible.

Di, $b=\frac{c}{d}$ .

¿Hacia dónde podemos ir?

Answer 1

Usted tiene que $\frac{1}{4}-b^2n\in \mathbb{Z}$ de ahí $4k=1-4b^2n$ y así $$1=4k+4b^2n=4k+(2b)^2n$$ de ahí podemos concluir que $(2b)^2n\in \mathbb{Z}$ por lo que en su notación $d^2|4c^2n$ pero $(c,d)=1$ y $d\neq 1$ así que $d^2|4n$ sabes que $n=\prod _{i=1}^sp_i$ con $p_i$ prime y, por tanto, la única opción para $d=2.$

Answer 2

A partir de $\frac{1}{4} - b^{2} n = z\in \mathbb Z$ y $b=\frac{c}{d}$

$$\frac{c^2}{d^2}n=\frac{1}{4}-z=\frac{1-4z}{4}$$ $$4c^2n=d^2(1-4z)$$ porque 4 no divide $(1-4z) $ tiene que dividir $d^2$ y obtenemos que 2 divide a d.

así que $b \in \frac{1}{2}\mathbb Q$

veamos si d=2

'd' no puede dividir a 'c' así que $d^2$ no puede dividir $c^2$ Además $d^2$ no puede dividir a n porque es libre de cuadrados por lo que $d^2$ divide 4 y finalmente obtenemos el $b \in \frac{1}{2}\mathbb Z$ porque d =2.

Answer 3

Sabemos que $\frac{1}{4} - b^{2} n = z\in \mathbb Z$ , $n\in \mathbb{N}-\{0\}$ sin cuadrados y $b=\frac{c}{d}$ donde $c\in \mathbb{Z}$ , $d\in \mathbb{N}-\{0\}$ .

Ahora vamos a demostrar que $b \in \frac{1}{2}\mathbb Z$ sin utilizar el hecho de que $(c,d)=1$ .

$$\frac{c^2}{d^2}n=\frac{1}{4}-z$$ $$4c^2n=d^2(1-4z)$$ $$\left(2c\right)^2n=d^2(1-4z)$$

$d\ne1$ de hecho si $d=1$ entonces $4c^2n=1-4z$ y lleva a contradicción porque $1$ no es múltiplo de $4$ .

Si $p$ es cualquier factor primo de $d$ y $p^r$ es la mayor potencia de $p$ que divide $d$ entonces $p^{2r}$ divide $(2c)^2n$ y $p^{2r-1}$ divide $(2c)^2$ porque $n$ es libre de cuadrados. Se deduce que $p^r$ divide $2c$ también.

Por lo tanto $d$ divide $2c$ Así que $\frac{2c}{d}=2b\in \mathbb{Z}$ y significa que $b \in \frac{1}{2}\mathbb Z$ .

Answer 4

Presumiblemente $\gcd(c,d) = 1$ .

$\frac 14 - \frac {c^2}{d^2}n$ es un número entero. Multiplícalo por $4$ y

$1- \frac 1{d^2}4c^2n$ es un número entero y $d^2|4c^2n$ . En $c$ y $d$ son relativamente primos, entonces $d^2|4n$ . Si $p$ es un factor primo impar de $d$ entonces $p\ne \mid 4$ así que $p|n$ así que $p^2|n$ pero $n$ es cuadrado libre.

Así que $d$ no tiene factores primos Impares y $d$ es una potencia de $2$ . Y $n$ tiene como máximo una potencia de $2$ como factor. Como mucho. Así que $d^2|8$ . $4^2\not \mid 8$ así que $d = 2$ (porque, como ha señalado $b\not \in \mathbb Z$ así que $d\ne 1$ ).

Así que $b = \frac c2;c\in \mathbb Z$ .