Demuéstralo: El cierre débil de la esfera unidad es la bola unidad.

Question

Quiero demostrar que en un espacio normado de dimensión infinita $X$ el cierre débil de la esfera unitaria $S=\{ x\in X : \| x \| = 1 \}$ es la bola unitaria $B=\{ x\in X : \| x \| \leq 1 \}$ .

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He aquí mi intento con lo que sé:

Sé que el débil cierre de $S$ es un subconjunto de $B$ porque $B$ es de norma cerrada y convexa, por lo que es débilmente cerrada, y $B$ contiene $S$ .

Pero tengo que demostrar que $B$ es un subconjunto del cierre débil de $S$ .

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para pequeños $\epsilon > 0$ y algunos $x^*_1,...,x^*_n \in X^*$ Dejo que $U=\{ x : \langle x, x^*_i \rangle < \epsilon , i = 1,...,n \} $

entonces $U$ es una vecindad débil de $0$

Lo que creo que necesito mostrar ahora es que $U$ se cruza con $S$ pero no sé cómo.

Answer 1

Con las mismas anotaciones en tu pregunta: Observa que si $x_i^*(x) = 0$ para todos $i$ entonces $x \in U$ y, por tanto, la intersección de los núcleos $\bigcap_{i=1}^n \mathrm{ker}(x_i^*)$ está en $U$ . Dado que la codimensión de $\mathrm{ker}(x^*_i)$ es como máximo $1$ entonces la intersección tiene codimensión como máximo $n$ (ejercicio: demuéstrelo). Pero como $X$ es de dimensión infinita, esto significa que la intersección tiene una dimensión infinita, y en particular contiene una recta. Puesto que cualquier línea que pase por $0$ se cruza con $S$ entonces $U$ se cruza con $S$ .

El mismo argumento puede aplicarse a cualquier punto del $B$ (cualquier línea que pase por un punto en $B$ se cruza con $S$ ), y ya que has probado la otra inclusión, el cierre débil de $S$ es $B$ .